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本原元定理本文重定向自 本原元

数学中,本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/FE可以表示为的形式,即E可以由单个元素生成。

定理

一个有限扩张E/F有本原元,即存在使得,当且仅当EF之间只有有限个中间域。

证明

如果有限域,由于有限扩张,推得也是有限域。但是由于有限域的乘法群是循环群,任取这个乘法群的一个生成元,可以由这个生成元生成。所以在是有限域的情况下,定理左右两边恒为真。

如果是无限域,但是只有有限个中间域。 先证明一个引理:假设并且之间只有有限个中间域,那么存在一个使得。引理的证明如下:当取遍的时候,对于每一个可以做一个中间域。但是由假设,只有有限个中间域,因此必定存在使得。由于都在这个域里,推得也在这个域里。由于,推得在这个域里,于是也在这个域里,因此,于是。引理证毕。

由于有限扩张总是有限生成的,推得(对于)。利用归纳法以及引理可以得出,如果之间只有有限个中间域,那么可以由单个元素生成。

而如果,假设上的极小多项式是任意一个中间域,上的极小多项式。显然。由于域上的多项式环唯一分解环只有有限个因子。而对于每一个,如果写作,并令。显然的一个子域,因此上依然是不可约的。而同时,因此可以得到。这样立即推,于是任何一个中间域对应唯一的一个的因子。于是中间域个数小于因子的个数。但因子个数是有限的,因此中间域个数有限。证毕。

推论

  • 由于有限可分扩张只有有限个中间域,由本原元定理立刻推出这个扩张有单个生成元

参见

参考文献

  • Serge Lang. Algebra. Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.

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