条件概率

定义

AB 为样本空间 Ω 中的两个事件，其中 P(B)>0。那么在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率为：

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

统计独立性

${\displaystyle P(A\cap B)\ =\ P(A)P(B)}$

${\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}$

${\displaystyle P(B|A)\ =\ P(B)}$

互斥性

${\displaystyle P(A\cap B)=0}$

${\displaystyle P(A)\neq 0}$${\displaystyle P(B)\neq 0}$

${\displaystyle P(A\mid B)=0}$
${\displaystyle P(B\mid A)=0}$

其它

• 如果事件${\displaystyle B}$的概率${\displaystyle P(B)>0}$，那么${\displaystyle Q(A)=P(A|B)}$在所有事件${\displaystyle A}$上所定义的函数${\displaystyle Q}$就是概率测度
• 如果${\displaystyle P(B)=0}$${\displaystyle P(A|B)}$没有定义。
• 条件概率可以用决策树进行计算。

形式定义

PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(A)。

条件概率谬论

PA|B）与PB|A）的关系如下所示：

${\displaystyle P(B|A)=P(A|B){\frac {P(B)}{P(A)}}.}$

${\displaystyle P({\text{disease}})=1\%=0.01}$${\displaystyle P({\text{well}})=99\%=0.99}$

${\displaystyle P({\text{positive}}|{\text{well}})=1\%}$，而且${\displaystyle P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%}$

${\displaystyle P({\text{negative}}|{\text{disease}})=1\%}$${\displaystyle P({\text{positive}}|{\text{disease}})=99\%}$

${\displaystyle P({\text{well}}\cap {\text{negative}})=P({\text{well}})\times P({\text{negative}}|{\text{well}})=99\%\times 99\%=98.01\%}$

${\displaystyle P({\text{disease}}\cap {\text{positive}})=P({\text{disease}})\times P({\text{positive}}|{\text{disease}})=1\%\times 99\%=0.99\%}$

${\displaystyle P({\text{well}}\cap {\text{positive}})=P({\text{well}})\times P({\text{positive}}|{\text{well}})=99\%\times 1\%=0.99\%}$

${\displaystyle P({\text{disease}}\cap {\text{negative}})=P({\text{disease}})\times P({\text{negative}}|{\text{disease}})=1\%\times 1\%=0.01\%}$

${\displaystyle P({\text{positive}})=P({\text{well}}\cap {\text{positive}})+P({\text{disease}}\cap {\text{positive}})=0.99\%+0.99\%=1.98\%}$

${\displaystyle P({\text{disease}}|{\text{positive}})={\frac {P({\text{disease}}\cap {\text{positive}})}{P({\text{positive}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%}$