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极限 (范畴论)本文重定向自 极限 (范畴论)

数学里的范畴论中,极限的概念融贯了多种构造,包括和、积等等;范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

极限分为极限余极限(又称上极限),彼此的定义相对偶。在不同场合的别名及英译如下表:

余极限/上极限(colimit) 正(向)极限(direct limit) 归纳极限(inductive limit)
极限(limit) 逆(向)极限(inverse limit) 投射极限/射影极限(projective limit)

本条目用语取归纳极限射影极限

定义

范畴 C 中的极限及上极限可用 C 中的图示来定义。形式上,C 中类型 J图示是指一个由 J 映射至 C函子

F : JC.

范畴 J 称之为“索引范畴”,图示 F 可想做是以 J 索引 C 内的物件及态射。J 实际的物件及态射为何并不重要,关键在于之间的互动。

通常,最感兴趣的情况是当类型J为小范畴有限范畴之时,此类图示分别被称为“小图示”及“有限图示”。

极限

F : JC 为一个在范畴 C 中类型 J 的图示。一个对应于 F 的“锥体”是指 C 中的一物件 N ,具有可以 J 内之物件 X 索引的态射族 ψX : NF(X),使得对每个 J 内的态射 f : XY,均有 F(f) o ψX = ψY

图示 F : JC极限是一个对应于 F 的锥体 (L, φ),使得对所有其他对应于 F 之锥体 (N, ψ),总存在一个“唯一的”态射 u : NL,使得对所有 J 中的 X,φX o u = ψX

A universal cone

可以说,锥体 (N, ψ) 能被唯一的因子 u 分解成锥体 (L, φ)。此一态射 u 有时称为“中介态射”。

极限亦称之为“泛锥体”,因为其所具有之泛性质(详见下文)。如同每个泛性质一般,上述定义叙述了一个有关一般性的对称状态:极限物件 L 够一般,能让所有其他锥体分解;另一方面,L 也必须够特殊,每个锥体都只可能有“一个”因子。

极限也可视为是在对应于 F 的锥体范畴内的终对象

图示可能不存在极限;但若一个图示存在极限,则此一极限一定是唯一的:在同构下是唯一的。

上极限

极限及锥体的对偶概念是上极限及上锥体。虽然可直接将上述定义的所有态射反转,以得到上极限及上锥体之定义,但下文仍将明确叙明之:

图示 F : JC 的“上锥体是指 C 中的一物件 N,具有可以每个 J 中的物件 X 索引的态射族

ψX : F(X) → N

使得对每个 J 内的态射 f : XY,均有 ψY o F(f)= ψX

图示 F : JC上极限F 的上锥体 (L, ),使得对所有其他对应于 F 的上锥体 (N, ψ),总存在一个“唯一的”态射 u : LN,使得对所有 J 中的 Xu o X = ψX

A universal co-cone

上极限也称为“泛上锥体”,也可视为是在对应于 F 的上锥体范畴内的始对象

如同极限一般,若图示 F 存在上极限,则此上极限在同构下是唯一的。

归纳系统与射影系统

以下固定一个范畴,并探讨其中的极限。为避免集合的悖论,我们将固定一个宇宙,并假定-范畴,即:对任意两个对象,态射集同构于里的某个集合。表所有里的集合构成的范畴。

为对的一个小范畴,所谓归纳系统(或称I-图)系指一个函子射影系统则指一函子

形象地说,归纳系统不外是给定中一族对象,对每个态射都有中对应的态射,且此对应在态射的合成下不变。射影系统对应的态射则反向:

固定一对象,对任意归纳系统α或射影系统β,可定义从的函子

我们将遵循可表函子的哲学,从集合的射影极限出发。暂设上的归纳系统不外是上的预层。给定一个归纳系统β,定义:

(注意:若是空范畴,对应的射影极限是单元素集合。)

可手工验证下述自然同构:

若干例子

始对象与终对象

为空范畴,此时的归纳极限与射影极限(若存在)便分别满足泛性质

这不外就是里的始对象终对象

纤维积与纤维余积

为离散范畴(即:其间只有恒等态射),此时归纳及射影系统不外只是一族的对象,对应的归纳极限及射影极限称作余积(又称上积)与

为范畴;设对应于。若其归纳极限存在,称之纤维余积,写作

对偶地看,对于,对应于,若其射影极限存在,称之纤维积,写作

纤维积与纤维余积可视为“相对”版本的积与余积。若存在终对象(或始对象),则积(或余积)可视为对该对象的纤维积(或纤维余积)。

核与上核

核(kernel)与余核(cokernel,又译上核),有时也称等化子(equalizer)与余等化子(coequalizer)。考虑对应到 的归纳或射影系统,此时的归纳极限称作上核,射影极限称作核。它们的泛性质图解如下:

DiagramKernelCokernel.png

加法范畴中仅须考虑的状况,上述概念遂归结为同调代数所探讨的的核与余核。

性质

极限之交换

为小范畴,为归纳系统,则有自然同构

将箭头反向,对射影系统亦有自然同构

归纳极限与射影极限通常不交换,一个格外有用的结果是:若滤通范畴,则与任意交换。

完备性

若一个范畴内存在任意的(小)射影极限,则称之完备范畴;完备的充要条件是存在任意的积与核。

将箭头反向,遂得到上完备范畴的定义及其充要条件。

正合函子

考虑一个函子

  • 里存在任意的有限射影极限,且与有限射影极限交换,则称左正合
  • 里存在任意的有限归纳极限,且与有限归纳极限交换,则称右正合
  • 若上述条件同时被满足,则称正合

阿贝尔范畴中,上述定义回归到同调代数中的定义。

根据极限的泛性质,函子无论对哪个变数都是左正合的。

是一对伴随函子。若存在任意有限归纳极限,则右正合;若存在任意有限射影极限,左正合。此法可建立许多函子的正合性。

具体实例

集合论

  • 定义中已构造集合的(小)射影极限。对于任意一个小范畴及归纳系统,其归纳极限亦存在,定义为下述商集:
  • 两个集合的纤维积与上积为
  • ,则
,这是“等化”一词的来由。
  • 是完备且上完备的。

拓扑空间

拓扑空间范畴也是完备且上完备的。各种极限构造与集合相同,惟须安上适合的商拓扑或子空间的诱导拓扑。

特别是可以构造一族无穷多个拓扑空间的极限及逆极限,此时相应的拓扑称作始拓扑或终拓扑。此类构造在泛函分析同伦理论中特别有用。

一个拓扑空间满足豪斯多夫性质的充要条件是的核是闭浸入,将此性质推广到概形上,则得到分离概形

概形

概形范畴(或相对版本)有终对象(或),并存在有限的纤维积。

抽象代数

阿贝尔群范畴或一个环上的模范畴都是完备且上完备的。函子的正合性对应到交换代数里的正合性概念。

射影极限的一个典型例子是p进整数

文献

  • Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部链接


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