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标量乘法

“标量乘法”的各地常用别名
中国大陆标量乘法、数乘
港台纯量乘法、系数积
用标量乘法得到一向量的三倍
向量a的标量乘法,−a和2a

标量乘法(英语:scalar multiplication)是线性代数向量空间的一种基本运算(更广义的,是抽象代数的一个))。在直觉上,将一个实数向量和一个正的实数进行标量乘法,也就是将其长度乘以此标量,方向不变。标量一词也从此用法而来:可将向量缩放的量。标量乘法是将标量和向量相乘,结果得到一向量,和内积将两向量相乘,得到一标量不同。

定义

K,而VK上的向量空间,标量乘法为从K× VV函数。将K中的cV中的v计算标量乘法,结果记为cv

性质

标量乘法符合以下的规则:(粗体表示向量)

  • 标量的加成性:(c + d)v = cv + dv
  • 向量的加成性:c(v + w) = cv + cw
  • 标量相乘和标量乘法的结合律:(cd)v = c(dv);
  • 乘以1不会改变向量:1v = v
  • 乘以0会得到零向量英语zero vector:0v = 0
  • 乘以-1会得到加法逆元:(−1)v = −v.

其中+表示域或是向量空间的加法,0是域或是向量空间的加法单位元

诠释

标量乘法可以视为是向量空间的外部二元运算或域的群作用。标量乘法的几何诠释是向量的拉长,方向可能会对调。

标量乘法中,V也可以是K,则标量乘法就变成域中的乘法。

VKn,标量乘法等于向量中的每一个元素都和标量相乘,需另外定义。

K交换环VK上的,同样的定义仍可以适用。 K甚至可以是一个半环,但没有加法逆元。若K不符合交换律,可以定义左标量乘法cv和右标量乘法vc

相关

参考资料

  1. ^ Lay, David C. Linear Algebra and Its Applications 3rd. Addison–Wesley. 2006. ISBN 0-321-28713-4.
  2. ^ Strang, Gilbert. Linear Algebra and Its Applications 4th. Brooks Cole. 2006. ISBN 0-03-010567-6.
  3. ^ Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right 2nd. Springer. 2002. ISBN 0-387-98258-2.
  4. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Abstract Algebra 3rd. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
  5. ^ Lang, Serge. Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

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