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格兰迪级数(Grandi's series),即,是由意大利数学家格兰迪英语Luigi Guido Grandi在1703年发表的。后来荷兰数学家丹尼尔·伯努利和瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人也都曾研究过它。格兰迪级数写作:

它是一个发散级数,也因此在一般情况下,这个无穷级数是没有和的。但若对该发散级数进行一些特别的求和处理时,就会有特定的和出现。格兰迪级数的欧拉和切萨罗和均为

格兰迪级数与级数1 − 2 + 3 − 4 + …有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + …的特例(其中为任意自然数),这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题上所做的工作,同时也引出了现在所知的狄利克雷η函数黎曼ζ函数

简介

针对以下的格兰迪级数

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

一种求和方式是求它的裂项和

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

但若调整括弧的位置,会得到不同的结果:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

用不同的方式为格兰迪级数加上括弧进行求和,其级数和可以得到0或是1的值。

格兰迪级数为发散几何级数,若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数,可以得到第三个数值:

= 1 − 1 + 1 − 1 + …,因此
1 − = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = ,即
2 = 1,

可得到 =

依照上述的计算,可以得到以下的二种结论:

  • 格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。
  • 格兰迪级数的和为

上述二个答案都可以精确的证明,但需要用19世纪提出的一些良好定义的数学概念。从17世纪欧洲开始使用微积分起,一直到现在严谨的数学成型之前,上述二个答案已造成数学家们尖锐及无止尽的争论。

求和性

稳定性及线性

对于格兰迪级数,看似可以用以下的方式处理,得到数值

  • 级数内的数两两相加或相减。
  • 每一项乘以一个系数。
  • 调整括弧顺序。
  • 在级数前面增加新的项。

不过因为上述的处理方式只能适用在收敛的级数,而不是收敛级数,因此上述处理都不适用。

由于各项 1,−1,1,−1,1,−1,…… 以一种简单模式排列,格兰迪级数可以透过移项以及逐项求和,再透过解方程得出一数值。暂时假设这样的写法有意义——其中的为常数,那么以下的计算将说明

因此,

再者,有许多的求和方式可以处理发散级数,并且可以对一些发散级数求和;其中相对简单的方法是切萨罗求和。

切萨罗和

恩纳斯托‧切萨罗在1890年第一个出版有关对发散级数求和的严谨方法,就是切萨罗和。基本概念类似莱布尼兹的几率法,一个级数的切萨罗和是其所有分项和的平均。也就是针对每个,计算前项的和的平均,当趋近无限大时的极限值即为切萨罗和。

以格兰迪级数而言,而数列 的各项分别为

,

因此,格兰迪级数的切萨罗和为

也可以用广义的切萨罗和来计算。

发散性

这个级数的部分和如下:

由此得出另一个无穷序列:

根据无穷级数的定义,

但是的无穷序列无法收敛到某个固定值(不断在0和1之间来回变动),所以发散。

因此这个级数也发散。

格兰迪级数的应用

幂级数

以下的幂级数和格兰迪级数有关,也是其母函数

狄拉克梳

格兰迪级数在另一个重要的级数中出现:

x = π,其上述级数化简为−1 + 1 − 1 + 1 − · · ,欧拉认为其值符合以下的关系式Σ cos kx = −12,不过达朗贝尔不同意此关系式,而拉格朗日认为这可以用类似欧拉对格兰迪级数的理解来延伸说明。

欧拉的声明推测

针对所有的x,此级数都发散,不过对于几乎所有x切萨罗和均为0。不过在x = 2πn时,其级数发散,而且是狄拉克梳英语Dirac comb傅立叶级数。其一般和、切萨罗和及阿贝尔和分别和狄利克雷核费耶核泊松核英语Poisson kernel的极限有关。

狄利克雷级数

将格兰迪级数各项乘以1/nz可以得到以下的狄利克雷级数

上述级数只有在实部大于0的复数z才会收敛,若令z = 0,即为格兰迪级数。

不同于几何级数,狄利克雷级数对于1 − 1 + 1 − 1 + · · · 的求和没有什么帮助。即使在右半平面上,上述的也无法用初等函数来表示,也没有直接证据可以证明当z趋近0时,的极值。

另一方面,若使用其他较强的求和法,则上述的可定义一个在整个复数平面的函数-狄利克雷η函数,而且此函数为解析函数。若z的实部> −1,就可以用切萨罗和进行求和,因此η(0) = 12

狄利克雷η函数和另一个著名的狄利克雷级数及函数有关:

其中ζ为黎曼ζ函数。若将格兰迪级数的和再配合上述公式,可以得到ζ(0) = −12。参照1 + 1 + 1 + 1 + …

上述的关系式也可以推得一些更重要的性质。由于黎曼ζ函数可表示为η(z)和(1 − 21−z)相除的结果,二个函数在整个复数平面均为解析函数,而后者的零点是在z = 1的简单零点,因此可得ζ(z)为亚纯函数,只在z = 1有一个极点

物理学

格兰迪级数及其衍生的级数常在物理学的各领域中出现,最典型的是量子化的费米子场,其中同时有正的及负的特征值,例如手征口袋模型(chiral bag model)。不过这些级数也出现在玻色子的相关研究中,例如卡西米尔效应

光谱非对称性英语spectral asymmetry领域也会用到由格兰迪级数衍生的级数,而其求和方式是正规化的一部分,例如ζ函数正规化英语zeta function regulator就是其中的一种。

相关条目

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Devlin, Keith. Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library. 1994: 77. ISBN 0-7167-6022-3.
  2. ^ 2.0 2.1 Davis, Harry F. Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. May 1989: p.152. ISBN 0-486-65973-9.
  3. ^ Kline, Morris. Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. November 1983, 56 (5): 307. JSTOR 2690371. doi:10.2307/2690371.
  4. ^ Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990: p.457 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.
  5. ^ Hardy (p.6) 结合格兰迪级数的计算提出了此推导过程。
  6. ^ Davis pp.152, 153, 157
  7. ^ Smail, Lloyd. History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes. University of Oregon Press. 1925: p.131. LCC QA295 .S64.
  8. ^ Ferraro, Giovanni. Convergence and formal manipulation in the theory of series from 1730 to 1815. Historia Mathematica. 2005, 34: 62. doi:10.1016/j.hm.2005.08.004.
  9. ^ Davis pp. 153–159
  10. ^ Knopp pp. 491–492

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