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欧拉线

平面几何中,欧拉线,或称尤拉线(图中的红线)是指过三角形垂心(蓝)、外心(绿)、重心(黄)和九点圆圆心(红点)的一条直线莱昂哈德·欧拉也称尤拉证明了在任意三角形中,以上四点共线。欧拉线上的四点中,九点圆圆心到垂心和外心的距离相等,而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。注意内心一般不在欧拉线上,除了等腰三角形外。

证明

Euler Line1.PNG

如图分别是的垂心,重心,外心。

为直线外接圆的交点,并连结

由于是直径,因此

又由于是垂心,因此

于是

于是为平行四边形。

分别是的中点,

边上的中线连结

于点

的重心

的垂心重心外心三点共线直线即欧拉线

推论

九点圆的圆心也在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点

Triangle cercle eulerA.JPG

如图,H、G、Ω分别是△ABC的垂心、重心、外心,三角形的三边中点I i,三高的垂足Hi,和顶点到垂心的三条线段的中点J i

令HΩ和J1I1的交点为K,∵BΩ=CΩ,BI1=CI1,∴ΩI1⊥BC,又∵AH1⊥BC,∴ΩI1∥AH1

∵∠GΩI1=∠AHG,∠GAH=∠GI1Ω,∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1,∴AH=2ΩI1,即ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1, J1H=ΩI1 ∴J1K=KI1, HK = KΩ。

同理J2K=KI2, J3K=KI3。 可知K为九点圆圆心。

∵点K在HΩ上,HK = KΩ

∴九点圆圆心在欧拉线上,且在垂心到外心的线段的中点。

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