万维百科

正图形列表

(重定向自正四維堆砌)
正图形范例
正多边形二维
星形
Regular pentagon.svg
{5}
Star polygon 5-2.svg
{5/2}
正多面体三维
星形
Dodecahedron.png
{5,3}
Small stellated dodecahedron.png
{5/2,5}
正镶嵌图(二维)
平面 双曲
Uniform tiling 44-t0.svg
{4,4}
Uniform tiling 54-t0.png
{5,4}
正多胞体四维
星形
Schlegel wireframe 120-cell.png
{5,3,3}
Ortho solid 010-uniform polychoron p53-t0.png
{5/2,5,3}英语Small stellated 120-cell
正堆砌体三维
平面 双曲
Cubic honeycomb.png
{4,3,4}
Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png
{5,3,4}英语Order-4 dodecahedral honeycomb

此页面列出了所有的欧几里得空间双曲空间球形空间正图形正多胞形施莱夫利符号可以描述每一个正图形正多胞形,他被广泛使用如下面的每一个紧凑的参考名称。

正图形正多胞形可由其维度分类,也可以分成凸、非凸(星形、扭歪、复合或凹)和无穷等形式。非凸形式(或凹形式)使用与凸形式相同的顶点,但面(或边)有相交。无限的形式则是在一较低维的欧几里得空间中密铺镶嵌堆砌)。

无限的形式可以扩展到密铺双曲空间。双曲空间是和正常的空间有相同的规模,但平行线在一定的距离内会分岔得越来越远。这使得顶点值可以存在负角度的缺陷,例如制作一个由个正三角形组成的顶点,它们可以被平放。它不能在普通平面上完成的,但可以在一个双曲平面上构造。

概观

此表显示正图形正多胞形在各个维度的汇总。

有限 平面 双曲 复合 抽象
维度 非凸 密铺
星形 扭歪 星形 扭歪 紧凑 星形 仿紧 非紧 星形
-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
2 1 1 1 0 0 0
3 5 4 ? 3 3 5 0
4 6 10 ? 1 ? 4 0 11 26 20
5 3 0 ? 3 ? 5 4 2 186 0 0
6 3 0 ? 1 ? 0 0 5 66 0 0
7 3 0 ? 1 ? 0 0 0 36 3 0
8 3 0 ? 1 ? 0 0 0 13 6 0
9 3 0 ? 1 ? 0 0 0 10 0 0
10 3 0 ? 1 ? 0 0 0 8 0 0
11 3 0 ? 1 ? 0 0 0 4 0 0
12+ 3 0 ? 1 ? 0 0 0 ≤2 0
不存在 存在唯一 有限个 无穷 不一定

零维或以下的正图形

上图以正方形展示一个二维正多胞形的组成元素:一个二维正多胞形(正方形)、四个一维正多胞形(线段)、四个零维正多胞形(顶点)和一个负一维正多胞形(空集合

在维数为零的空间能存在的多胞形只有点,无法有其他几何或拓朴组合,而为数比零更低则是在抽象理论英语Abstract_polytope中的虚无多胞形(英语:Null polytope)代表一种空集合,在抽象理论英语Abstract_polytope中被看作是一种负一维的多胞形,但其是一种抽象多胞形英语Abstract_polytope。然而,在数学上,零维空间是按以下的不等价定义之一,维数为零的拓扑空间:按覆盖维数的概念,一个拓扑空间是零维空间,若空间的任何开覆盖,都有一个加细,使得空间内每一点,都在这个加细的恰好一个开集内;或者按小归纳维数的概念,一个拓扑空间是零维空间,若空间有一个由闭开集组成的。这两个概念对可分可度量化空间为等价。而负一维空间仅是在抽象理论英语Abstract_polytope表示一个比零维多胞形更低维度的一个元词

依据正图形的定义,一个多胞形必须要具备严格的标记可递特性,对于该几何体内所有同维度的元素(如:点、线、面)都完全具有相同的性质,并且每一个元素皆为一个正图形,而零维多胞形的元素仅有{F−1, F0}、负一维多胞形的元素仅有{F−1},几何上所有零维多胞形都是正多胞形,一般地,n维正图形被定义为有正维面[(n − 1)-表面]和正顶点图,这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的,但这一定义并不适用于抽象多胞形英语抽象多胞形,而负一维的多胞形的仅有一种抽象多胞形英语Abstract_polytope

另外,正零边形也可以视为零维或以下的正图形,或看做是虚无多胞形(英语:Null polytope)。

一维正图形

Coxeter node markup1.png 考克斯特记号终结点代表一个镜射面,周围有环的节点表示其不位于一个平面。 ditel, { }, CDel node 1.png 是点 p和其镜射像 p'并且中间被夹出一段线段

在维数为一的一维空间里存在的多胞形是由两个端点包围住的一个封闭一维空间,即线段。在定义上,这个一维多胞形(或称1-多胞形)在施莱夫利符号中以: { } 表示,而在考克斯特记号中则以一个有环的节点:CDel node 1.png表示。诺曼·约翰逊英语Norman Johnson (mathematician)将之称为ditel,并在施莱夫利符号中以{ }表示。依据正图形的定义,一个多胞形必须要具备严格的标记可递特性,对于该几何体内所有同维度的元素(如:点、线、面)都完全具有相同的性质,并且每一个元素皆为一个正图形,而一维多胞形的旗包含{F−1, F0, F1}、其元素仅有{F−1, A, B, AB},其中,A、B为线段两端点,由于几何上所有零维多胞形都是正多胞形,因此所有的线段都会符合标记可递特以及所有同维度的元素(如:点、线、面)都完全具有相同的性质,并且每一个元素皆为一个正图形,因此在几何上所有的一维多胞形都是正多胞形。

虽然线段做为一个多胞形是微不足道的,但它似乎是多边形和其他更高维度图形形成边缘所需的一个元素。在一维以及以下(包括一维、零维、负一维)空间中的多胞形都是正多胞形,包含了一维的线段、零维的点和负一维的抽象虚无多胞形都是组成多边形和其他更高维度图形的重要元素之一,比如一维的线段组成多边形的边、零维的点组成多边形的顶点以及代表集合子集中空集合的抽象虚无多胞形都是多边形的组成元素(子集),依据正图形定义,若这些低为度不存在正图形,则也不会有正多边形和其他更高维度的正图形。

在柱体的定义里,线段(一维)可以被看做是点(零维)的柱体,在施莱夫利符号中以{ }×{p}表示,而在考克斯特记号中则以笛卡儿积的形式CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.png表示一个线段和多边形。

二维正多边形

二维凸正多边形

名称 正三角形
2-单体
正方形
2-正轴形
2-立方形
正五边形 正六边形 正七边形 正八边形
施莱夫利符号 {3} {4} {5} {6} {7} {8}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
图像 Regular triangle.svg Regular quadrilateral.svg Regular pentagon.svg Regular hexagon.svg Regular heptagon.svg Regular octagon.svg
名称 正九边形 正十边形 正十一边形 正十二边形 正十三边形 正十四边形
施莱夫利 {9} {10} {11} {12} {13} {14}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 13.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 14.pngCDel node.png
图像 Regular nonagon.svg Regular decagon.svg Regular hendecagon.svg Regular dodecagon.svg Regular tridecagon.svg Regular tetradecagon.svg
名称 正十五边形 正十六边形 正十七边形 正十八边形 正十九边形 正二十边形 ...正n边形
施莱夫利 {15} {16} {17} {18} {19} {20} {n}
考克—迪肯 CDel node 1.pngCDel 15.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 16.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 17.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 18.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 19.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 20.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png
图像 Regular pentadecagon.svg Regular hexadecagon.svg Regular heptadecagon.svg Regular octadecagon.svg Regular enneadecagon.svg Regular icosagon.svg
边数较大的正多边形
名称 二百五十七边形 正65537边形 一百万边形
可作图? 可作图 可作图 不可
施莱夫利符号 {257} {65537} {1000000}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel 5.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel 5.pngCDel 5.pngCDel 3x.pngCDel 7.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel 0x.pngCDel node.png
图像 257-gon (3rd version).svg 65537-gon.svg Circle - black simple.svg

退化 (圆形)

名称 正零边形 正一边形 正二边形
施莱夫利符号 {1} {2}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node.png CDel node 1.png
图像 Monogon.svg Digon.svg

星形正多边形

名称 五角星 七角星 八角星 九角星 十角星 ...n角星
施莱夫利符号 {5/2} {7/2} {7/3} {8/3} {9/2} {9/4} {10/3} {p/q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel dq.pngCDel node.png
图像 Star polygon 5-2.svg Star polygon 7-2.svg Star polygon 7-3.svg Star polygon 8-3.svg Star polygon 9-2.svg Star polygon 9-4.svg Star polygon 10-3.svg  
20边以下的星形正多边形
Regular star polygon 11-2.svg
{11/2}
Regular star polygon 11-3.svg
{11/3}
Regular star polygon 11-4.svg
{11/4}
Regular star polygon 11-5.svg
{11/5}
Regular star polygon 12-5.svg
{12/5}
Regular star polygon 13-2.svg
{13/2}
Regular star polygon 13-3.svg
{13/3}
Regular star polygon 13-4.svg
{13/4}
Regular star polygon 13-5.svg
{13/5}
Regular star polygon 13-6.svg
{13/6}
Regular star polygon 14-3.svg
{14/3}
Regular star polygon 14-5.svg
{14/5}
Regular star polygon 15-2.svg
{15/2}
Regular star polygon 15-4.svg
{15/4}
Regular star polygon 15-7.svg
{15/7}
Regular star polygon 16-3.svg
{16/3}
Regular star polygon 16-5.svg
{16/5}
Regular star polygon 16-7.svg
{16/7}
Regular star polygon 17-2.svg
{17/2}
Regular star polygon 17-3.svg
{17/3}
Regular star polygon 17-4.svg
{17/4}
Regular star polygon 17-5.svg
{17/5}
Regular star polygon 17-6.svg
{17/6}
Regular star polygon 17-7.svg
{17/7}
Regular star polygon 17-8.svg
{17/8}
Regular star polygon 18-5.svg
{18/5}
Regular star polygon 18-7.svg
{18/7}
Regular star polygon 19-2.svg
{19/2}
Regular star polygon 19-3.svg
{19/3}
Regular star polygon 19-4.svg
{19/4}
Regular star polygon 19-5.svg
{19/5}
Regular star polygon 19-6.svg
{19/6}
Regular star polygon 19-7.svg
{19/7}
Regular star polygon 19-8.svg
{19/8}
Regular star polygon 19-9.svg
{19/9}
Regular star polygon 20-3.svg
{20/3}
Regular star polygon 20-7.svg
{20/7}
Regular star polygon 20-9.svg
{20/9}

扭歪正多边形

锯齿扭歪多边形的例子
扭歪六边形 扭歪八边形 扭歪十边形
D3d, [2+,6] D4d, [2+,8] D5d, [2+,10]
{3}#{ } {4}#{ } {5}#{ } {5/2}#{ } {5/3}#{ }
Skew polygon in triangular antiprism.png Skew polygon in square antiprism.png Regular skew polygon in pentagonal antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic antiprism.png Regular skew polygon in pentagrammic crossed-antiprism.png

三维正图形

三维凸正多面体

名称 施莱夫利符号
{p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png
图像
(透视图)
图像
(立体图)
图像
(球面投影)

{p}
顶点
{q}
对称群 对偶
正四面体
3-单体
三角锥
{3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Tetrahedron.svg Tetrahedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png 4
{3}
6 4
{3}
Td (自身对偶)
正方体
3-立方形
(正六面体)
(四角柱)
{4,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Hexahedron.svg Hexahedron.png Uniform tiling 432-t0.png 6
{4}
12 8
{3}
Oh 正八面体
正八面体
3-正轴体
正三角反棱柱
{3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png Octahedron.svg Octahedron.png Uniform tiling 432-t2.png 8
{3}
12 6
{4}
Oh 立方体
正十二面体 {5,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png POV-Ray-Dodecahedron.svg Dodecahedron.png Uniform tiling 532-t0.png 12
{5}
30 20
{3}
Ih 正二十面体
正二十面体 {3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png Icosahedron.svg Icosahedron.png Uniform tiling 532-t2.png 20
{3}
30 12
{5}
Ih 正十二面体

退化 (球面)

在球面几何学中,多面形 {2,n} 和多边形二面体 {n,2} 以及一面体 {1,1} 也可以被视为是一种正多面体(正球面镶嵌)。

他们包括:

名称 施莱夫利
{p,q}
考克斯特记号英语Coxeter-Dynkin diagram 图像
(球面)

{p}
顶点
{q}
对称性英语List of spherical symmetry groups 对偶
一边形一面体 {1,1} CDel node.png Spherical henagonal henahedron.png 1
{1}
0 1
{1}
C1
(*1)
自身对偶
一边形二面体 {1,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png Hengonal dihedron.png 2
{1}
1 1
{2}
C1v
(*22)
一面形
一面形 {2,1} CDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Henagonal hosohedron.png 1
{2}
1 2
{1}
C1v
(*22)
一边形二面体
二边形二面体
二面形
{2,2} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Digonal dihedron.png 2
{2}
2 2
{2}
D2h
(*222)
自身对偶
三面形 {2,3} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png Trigonal hosohedron.png 3
{2}
3 2
{3}
D3h
(*322)
三角形二面体
三角形二面体 {3,2} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Trigonal dihedron.png 2
{3}
3 3
{2}
D3h
(*322)
三面形
六面形 {2,6} CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png Hexagonal hosohedron.png 6
{2}
6 2
{6}
D6h
(*622)
六边形二面体
六边形二面体 {6,2} CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png Hexagonal dihedron.png 2
{6}
6 6
{2}
D6h
(*622)
六面形

星形正多面体

名称 半透明
图像
立体
图像
球面镶嵌
图像
星状图 施莱夫利
{p,q}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram

{p}
顶点
{q}
顶点图
χ 密度英语Density (polytope) 对称姓 对偶
小星形十二面体 SmallStellatedDodecahedron.jpg Small stellated dodecahedron.png Small stellated dodecahedron tiling.png First stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,5}
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 12
{5}
Pentagon.svg
−6 3 Ih
[5,3]
(*532)
大十二面体
大十二面体 GreatDodecahedron.jpg Great dodecahedron.png Great dodecahedron tiling.png Second stellation of dodecahedron facets.svg {5,5/2}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
12
{5}
Pentagon.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
−6 3 Ih
[5,3]
(*532)
小星形十二面体
大星形十二面体 GreatStellatedDodecahedron.jpg Great stellated dodecahedron.png Great stellated dodecahedron tiling.png Third stellation of dodecahedron facets.svg {5/2,3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node 1.png
12
{5/2}
Pentagram.svg
30 20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
2 7 Ih
[5,3]
(*532)
大二十面体
大二十面体 GreatIcosahedron.jpg Great icosahedron.png Great icosahedron tiling.png Sixteenth stellation of icosahedron facets.png {3,5/2}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
20
{3}
Triangle.Equilateral.svg
30 12
{5/2}
Pentagram.svg
2 7 Ih
[5,3]
(*532)
大星形十二面体

扭歪正多面体

考克斯特在他的论文《三维和四维空间的正扭歪多面体极其类似物》中列出了较多的一系列扭歪多面体,其中有四种是正图形

4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t12 F4.svg
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3}

四维正图形

四维凸正多胞体

在四维空间中存在6种凸正图形。

名称
施莱夫利
{p,q,r}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png

{p,q}

{p}

{r}
顶点
{q,r}
对偶
{r,q,p}
正五胞体
四维单纯形
{3,3,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 5
{3,3}
10
{3}
10
{3}
5
{3,3}
自身对偶
正八胞体
四维超方形
超立方体
{4,3,3} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 8
{4,3}
24
{4}
32
{3}
16
{3,3}
正十六胞体
正十六胞体
四维正轴体
{3,3,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 16
{3,3}
32
{3}
24
{4}
8
{3,4}
超立方体
正二十四胞体 {3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 24
{3,4}
96
{3}
96
{3}
24
{4,3}
自身对偶
正一百二十胞体
四维类五边形体
{5,3,3} CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 120
{5,3}
720
{5}
1200
{3}
600
{3,3}
正六百胞体
正六百胞体
四维类二十面体体
{3,3,5} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 600
{3,3}
1200
{3}
720
{5}
120
{3,5}
正一百二十胞体
正五胞体 超立方体 正十六胞体 正二十四胞体 正一百二十胞体 正六百胞体
{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}
线架图 (皮特里多边形) 歪斜正投影图英语orthographic projection
Complete graph K5.svg 4-cube graph.svg 4-orthoplex.svg 24-cell graph F4.svg Cell120Petrie.svg Cell600Petrie.svg
不透明正投影图英语orthographic projection
Tetrahedron.png
被正四面体包覆
(以顶点与胞为中心)
Hexahedron.png
被立方体包覆
(以胞为中心)
16-cell ortho cell-centered.png
被立方体包覆
(以胞为中心)
Ortho solid 24-cell.png
被截半立方体包覆
(以胞为中心)
Ortho solid 120-cell.png
被倒角十二面体包覆
(以胞为中心)
Ortho solid 600-cell.png
被五角化截半二十面体包覆
(以顶点为中心)
施莱盖尔英语Schlegel diagram线框 (透视投影
Schlegel wireframe 5-cell.png
(以胞为中心)
Schlegel wireframe 8-cell.png
(以胞为中心)
Schlegel wireframe 16-cell.png
(以胞为中心)
Schlegel wireframe 24-cell.png
(以胞为中心)
Schlegel wireframe 120-cell.png
(以胞为中心)
Schlegel wireframe 600-cell vertex-centered.png
(以顶点为中心)
球极平面投影线框 (超球面堆砌
Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 16cell.png Stereographic polytope 24cell.png Stereographic polytope 120cell.png Stereographic polytope 600cell.png

退化 (超球面)

多维面形
施莱夫利
{2,p,q}
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png

{2,p}π/q

{2}π/p,π/q
顶点 顶点图
{p,q}
对称性 对偶多胞形
{2,3,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 4
{2,3}π/3
Spherical trigonal hosohedron.png
6
{2}π/3,π/3
4 2 {3,3}
Uniform tiling 332-t0-1-.png
[2,3,3] {3,3,2}
{2,4,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 6
{2,4}π/3
Spherical square hosohedron.png
12
{2}π/4,π/3
8 2 {4,3}
Uniform tiling 432-t0.png
[2,4,3] {3,4,2}
{2,3,4} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png 8
{2,3}π/4
Spherical trigonal hosohedron.png
12
{2}π/3,π/4
6 2 {3,4}
Uniform tiling 432-t2.png
[2,4,3] {4,3,2}
{2,5,3} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png 12
{2,5}π/3
Spherical trigonal hosohedron.png
30
{2}π/5,π/3
20 2 {5,3}
Uniform tiling 532-t0.png
[2,5,3] {3,5,2}
{2,3,5} CDel node 1.pngCDel 2x.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png 20
{2,3}π/5
Spherical pentagonal hosohedron.png
30
{2}π/3,π/5
12 2 {3,5}
Uniform tiling 532-t2.png
[2,5,3] {5,3,2}

扭歪多胞体

四维的扭歪多胞体是一些位于五维或以上的扭歪图形。

五维正图形

五维凸正多胞体

名称 施莱夫利
{p,q,r,s}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
维面
{p,q,r}

{p,q}

{p}
顶点 面图
{s}
边图
{r,s}
顶点图
{q,r,s}
五维正六胞体 {3,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
6
{3,3,3}
15
{3,3}
20
{3}
15 6 {3} {3,3} {3,3,3}
五维超正方体 {4,3,3,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
10
{4,3,3}
40
{4,3}
80
{4}
80 32 {3} {3,3} {3,3,3}
五维正三十二胞体 {3,3,3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
32
{3,3,3}
80
{3,3}
80
{3}
40 10 {4} {3,4} {3,3,4}
5-simplex t0.svg
五维正六胞体
5-cube graph.svg
五维超正方体
5-orthoplex.svg
五维正三十二胞体

六维正图形

六维凸正多胞体

名称 施莱夫利 顶点 维脊 维面 χ
六维正七胞体英语6-simplex {3,3,3,3,3} 7 21 35 35 21 7 0
六维超立方体英语6-cube {4,3,3,3,3} 64 192 240 160 60 12 0
六维正六十四胞体英语6-orthoplex {3,3,3,3,4} 12 60 160 240 192 64 0
6-simplex t0.svg
六维正七胞体英语6-simplex
6-cube graph.svg
六维超立方体英语6-cube
6-orthoplex.svg
六维正六十四胞体英语6-orthoplex

七维正图形

七维凸正多胞体

名称 施莱夫利 顶点 维峰 维脊 维面 χ
七维正八胞体英语7-simplex {3,3,3,3,3,3} 8 28 56 70 56 28 8 2
七维超立方体英语7-cube {4,3,3,3,3,3} 128 448 672 560 280 84 14 2
七维正一百二十八胞体英语7-orthoplex {3,3,3,3,3,4} 14 84 280 560 672 448 128 2
7-simplex t0.svg
七维正八胞体英语7-simplex
7-cube graph.svg
七维超立方体英语7-cube
7-orthoplex.svg
七维正一百二十八胞体英语7-orthoplex

七维以上正图形

自五维开始,正图形皆只有三种——单纯形超方形以及正轴形

n维凸正多包体

从五维开始,凸正多包体都只有三种。

名称 施莱夫利
符号
{p1,...,pn−1}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
记号
k维胞 / 面 维面 顶点图 对偶
n维单体 {3n−1} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle {{n+1} \choose {k+1}}} {3n−2} {3n−2} 自身对偶
n维超立方体 {4,3n−2} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {4,3n−3} {3n−2} n维正轴体
n维正轴体 {3n−2,4} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {3n−2} {3n−3,4} n维超立方体

八维

名称 施莱夫利 顶点 4维胞 维峰 维脊 维面 χ
八维单体英语8-simplex {3,3,3,3,3,3,3} 9 36 84 126 126 84 36 9 0
八维超立方体英语8-cube {4,3,3,3,3,3,3} 256 1024 1792 1792 1120 448 112 16 0
八维正轴体英语8-orthoplex {3,3,3,3,3,3,4} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0
8-simplex t0.svg
八维单体英语8-simplex
8-cube.svg
八维超立方体英语8-cube
8-orthoplex.svg
八维正轴体英语8-orthoplex

九维

名称 施莱夫利 顶点 4维胞 5维胞 维峰 维脊 维面 χ
九维单体英语9-simplex {38} 10 45 120 210 252 210 120 45 10 2
九维超立方体英语9-cube {4,37} 512 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 2
九维正轴体英语9-orthoplex {37,4} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 2
9-simplex t0.svg
九维单体英语9-simplex
9-cube.svg
九维超立方体英语9-cube
9-orthoplex.svg
九维正轴体英语9-orthoplex

十维

名称 施莱夫利 顶点 4维胞 5维胞 6维胞 维峰 维脊 维面 χ
十维单体 {39} 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 0
十维超立方体英语10-cube {4,38} 1024 5120 11520 15360 13440 8064 3360 960 180 20 0
十维正轴体英语10-orthoplex {38,4} 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 0
10-simplex t0.svg
十维单体
10-cube.svg
十维超立方体英语10-cube
10-orthoplex.svg
十维正轴体英语10-orthoplex

十一维

名称 施莱夫利 顶点 4维胞 5维胞 6维胞 7维胞 维峰 维脊 维面 χ
十一维单体 {310} 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 2
十一维超立方体 {4,39} 2048 11264 28160 42240 42240 29568 14784 5280 1320 220 22 2
十一维正轴体 {39,4} 22 220 1320 5280 14784 29568 42240 42240 28160 11264 2048 2
11-simplex graph.png
十一维单体
11-cube.svg
十一维超立方体
22-simplex graph.svg
十一维正轴体

十二维

名称 施莱夫利 顶点 4维胞 5维胞 6维胞 7维胞 8维胞 维峰 维脊 维面 χ
十二维单体 {311} 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 0
十二维超立方体 {4,310} 4096 24576 67584 112640 126720 101376 59136 25344 7920 1760 264 24 0
十二维正轴体 {310,4} 24 264 1760 7920 25344 59136 101376 126720 112640 67584 24576 4096 0
12-simplex graph.png
十二维单体
24-simplex graph.svg
十二正轴体

更高维度

种类 维度 名称 施莱夫利 顶点 维峰 维脊 维面 χ
单纯形 13 十三维单体 {312} 14 91 364 364 91 14 2
14 十四维单体 {313} 15 105 455 455 105 15 0
15 十五维单体 {314} 16 120 560 560 120 16 2
16 十六维单体 {315} 17 136 680 680 136 17 0
17 十七维单体 {316} 18 153 816 816 153 18 2
18 十八维单体 {317} 19 171 969 969 171 19 0
19 十九维单体 {318} 20 190 1140 1140 190 20 2
20 二十维单体 {319} 21 210 1330 1330 210 21 0
超方形 13 十三维超立方体 {4,311} 8192 53248 159744 2288 312 26 2
14 十四维超立方体 {4,312} 16384 114688 372736 2912 364 28 0
15 十五维超立方体 {4,313} 32768 245760 860160 3640 420 30 2
16 十六维超立方体 {4,314} 65536 524288 1966080 4480 480 32 0
17 十七维超立方体 {4,315} 131072 1114112 4456448 5440 544 34 2
18 十八维超立方体 {4,316} 262144 2359296 10027008 6528 612 36 0
19 十九维超立方体 {4,317} 524288 4980736 22413312 7752 684 38 2
20 二十维超立方体 {4,318} 1048576 10485760 49807360 9120 760 40 0
正轴形 13 十三维正轴体 {311,4} 26 312 2288 159744 53248 8192 2
14 十四维正轴体 {312,4} 28 364 2912 372736 114688 16384 0
15 十五维正轴体 {313,4} 30 420 3640 860160 245760 32768 2
16 十六维正轴体 {314,4} 32 480 4480 1966080 524288 65536 0
17 十七维正轴体 {315,4} 34 544 5440 4456448 1114112 131072 2
18 十八维正轴体 {316,4} 36 612 6528 10027008 2359296 262144 0
19 十九维正轴体 {317,4} 38 684 7752 22413312 4980736 524288 2
20 二十维正轴体 {318,4} 40 760 9120 49807360 10485760 1048576 0

n维正非凸多胞形

从五维开始就都不存在任何非凸多胞形。

正无穷多胞形

一维

密铺

对应的欧几里得密铺只有一种,密铺于一维欧几里得空间,即直线,即正无限边形。其施莱夫利符号以{∞}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png表示。

该镶嵌是由一维正图形“线段”(即二维二边形)完成一维欧几里得空间的密铺。

...Regular apeirogon.png...

双曲密铺

对应的双曲密铺只有一种,即由一维正图形“线段”完成一维罗氏空间(即二维双曲线)的密铺,类似于无限边形,称为超无限边形,但又因为它是发散的,因此又称为伪多边形。在施莱夫利符号以{iπ/λ}表示、考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagramCDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.png表示。

Regular Pseudogon.png

二维

平面正镶嵌图

名称 正方形镶嵌 正三角形镶嵌 正六边形镶嵌
对称群英语List of planar symmetry groups#Wallpaper groups p4m, [4,4], (*442) p6m, [6,3], (*632)
施莱夫利 {p,q} {4,4} {3,6} {6,3}
考克斯特记号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
图像 Uniform tiling 44-t0.svg Uniform tiling 63-t2.png Uniform tiling 63-t0.png

双曲凸正镶嵌图

双曲正镶嵌图
球面 (柏拉图/平面/双曲面 (庞加莱圆盘紧凑/仿紧凑/非紧凑) 镶嵌图与其施莱夫利符号
p \ q 3 4 5 6 7 8 ... ... iπ/λ
3 Uniform tiling 332-t0-1-.png
正四面体
{3,3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 432-t2.png
正八面体
{3,4}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 532-t2.png
正二十面体
{3,5}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 63-t2.png
三角镶嵌
{3,6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 37-t0.png

{3,7}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 38-t0.png

{3,8}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 23i-4.png

{3,∞}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
H2 tiling 23j12-4.png

{3,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
4 Uniform tiling 432-t0.png
立方体
{4,3}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 44-t0.svg
方形镶嵌
{4,4}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 45-t0.png

{4,5}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 46-t0.png

{4,6}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 47-t0.png

{4,7}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 48-t0.png

{4,8}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-4.png

{4,∞}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{4,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
5 Uniform tiling 532-t0.png
十二面体
{5,3}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 54-t0.png

{5,4}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 55-t0.png

{5,5}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 56-t0.png

{5,6}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 57-t0.png

{5,7}英语Order-7 pentagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 58-t0.png

{5,8}英语Order-8 pentagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-4.png

{5,∞}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{5,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
6 Uniform tiling 63-t0.png
六角镶嵌
{6,3}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 64-t0.png

{6,4}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 65-t0.png

{6,5}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 66-t2.png

{6,6}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 67-t0.png

{6,7}英语Order-7 hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 68-t0.png

{6,8}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 26i-4.png

{6,∞}英语Infinite-order hexagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{6,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
7 Uniform tiling 73-t0.png
{7,3}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 74-t0.png
{7,4}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 75-t0.png
{7,5}英语Order-5 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 76-t0.png
{7,6}英语Order-6 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 77-t2.png
{7,7}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 78-t0.png
{7,8}英语Order-8 heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-4.png
{7,∞}英语Infinite-order heptagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{7,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
8 Uniform tiling 83-t0.png
{8,3}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Uniform tiling 84-t0.png
{8,4}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
Uniform tiling 85-t0.png
{8,5}英语Order-5 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
Uniform tiling 86-t0.png
{8,6}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
Uniform tiling 87-t0.png
{8,7}英语Order-7 octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
Uniform tiling 88-t2.png
{8,8}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-4.png
{8,∞}英语Infinite-order octagonal tiling
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{8,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
...
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-1.png
{∞,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
H2 tiling 26i-1.png
{∞,6}英语Order-6 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-1.png
{∞,7}英语Order-7 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-1.png
{∞,8}英语Order-8 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-1.png
{∞,∞}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{∞,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png
...
iπ/λ H2 tiling 2312j-1.png
{iπ/λ,3}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 2412j-1.png
{iπ/λ,4}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 2512j-1.png
{iπ/λ,5}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
{iπ/λ,6}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
{iπ/λ,7}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
{iπ/λ,8}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
{iπ/λ,∞}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
{iπ/λ,iπ/λ}
CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel ultra.pngCDel node.png

双曲星形正镶嵌图

名称 施莱夫利符号 考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram 图像 面的种类
{p}
顶点图
{q}
密度英语Density (polytope) 对称 对偶
七阶七角星镶嵌 {7/2,7} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7-2 7.png {7/2}
Star polygon 7-2.svg
{7}
Heptagon.svg
3 *732
[7,3]
二分之七阶七边形镶嵌
二分之七阶七边形镶嵌 {7,7/2} CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 7 7-2.png {7}
Heptagon.svg
{7/2}
Star polygon 7-2.svg
3 *732
[7,3]
七阶七角星镶嵌
九阶九角星镶嵌 {9/2,9} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9-2 9.png {9/2}
Star polygon 9-2.svg
{9}
Nonagon.svg
3 *932
[9,3]
二分之九阶九边形镶嵌
二分之九阶九边形镶嵌 {9,9/2} CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 9.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hyperbolic tiling 9 9-2.png {9}
Nonagon.svg
{9/2}
Star polygon 9-2.svg
3 *932
[9,3]
九阶九角星镶嵌
十一阶十一角星镶嵌 {11/2,11} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel node.png Order-11 hendecagrammic tiling.png {11/2}
Star polygon 11-2.svg
{11}
Hendecagon.svg
3 *11.3.2
[11,3]
二分之十一阶十一边形镶嵌
二分之十一阶十一边形镶嵌 {11,11/2} CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 11.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Hendecagrammic-order hendecagonal tiling.png {11}
Hendecagon.svg
{11/2}
Star polygon 11-2.svg
3 *11.3.2
[11,3]
十一阶十一角星镶嵌
pp角星镶嵌 {p/2,p} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.png   {p/2} {p} 3 *p32
[p,3]
二分之pp边形镶嵌
二分之pp边形镶嵌 {p,p/2} CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png   {p} {p/2} 3 *p32
[p,3]
pp角星镶嵌
...
无限阶无限角星镶嵌 {∞/2,∞} CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png Infinite-order apeirogrammic tiling.png {∞/2} {∞} 3 *∞.3.2
[∞,3]
二分之无限阶无限边形镶嵌
二分之无限阶无限边形镶嵌 {∞,∞/2} CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png Apeirogrammic-order apeirogonal tiling.png {∞} {∞/2} 3 *∞.3.2
[∞,3]
无限阶无限角星镶嵌

三维

立方体堆砌{4,3,4}的边骨架

三维空间中只有一种正堆砌体,即立方体堆砌{4, 3, 4}:

名称 施莱夫利
{p,q,r}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.png

{p,q}

{p}
边图
{r}
顶点图
{q,r}
χ 对偶
立方体堆砌 {4,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3} {4} {4} {3,4} 0 自身对偶

四维

名称 施莱夫利
{p,q,r,s}
维面
{p,q,r}

{p,q}

{p}
面图
{s}
边图
{r,s}
顶点图
{q,r,s}
对偶
超立方体堆砌 {4,3,3,4} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} {3,3,4} 自身对偶
正十六胞体堆砌 {3,3,4,3} {3,3,4} {3,3} {3} {3} {4,3} {3,4,3} {3,4,3,3}
正二十四胞体堆砌 {3,4,3,3} {3,4,3} {3,4} {3} {3} {3,3} {4,3,3} {3,3,4,3}
Tesseractic tetracomb.png
超立方体堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
正十六胞体堆砌
Icositetrachoronic tetracomb.png
正二十四胞体堆砌

五维

五维空间的正堆砌仅有五维超立方体堆砌{4,3,3,3,4}

名称 施莱夫利
{p,q,r,s,t}
考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel r.pngCDel node.pngCDel s.pngCDel node.pngCDel t.pngCDel node.png
维面
{p,q,r,s}
维脊
{p,q,r}

{p,q}

{p}
边图
{t}
顶点图
{s,t}
对偶
五维超立方体堆砌 {4,3,3,3,4} CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png {4,3,3,3} {4,3,3} {4,3} {4} {4} {3,4} 自身对偶

六维以上

δn 维度 名称 施莱夫利 考克斯特英语Coxeter-Dynkin diagram
原位
{∞}n
(2m色, m<n)

{4,3n-1,4}
(1色、n色)
网格
{4,3n-4,31,1}
(2色)
δ6 五维(退化六维) 五维超立方体堆砌英语5-cube honeycomb {∞}5
{4,33,4}
{4,32,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
δ7 六维(退化七维) 六维超立方体堆砌英语6-cube honeycomb {∞}6
{4,34,4}
{4,33,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
δ8 七维(退化八维) 七维超立方体堆砌英语7-cube honeycomb {∞}7
{4,35,4}
{4,34,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
δ9 八维(退化九维) 八维超立方体堆砌英语8-cube honeycomb {∞}8
{4,36,4}
{4,35,31,1}
CDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.pngCDel 2.pngCDel labelinfin.pngCDel branch 10.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
 
δn n-1维(退化n维) n-1维超立方体堆砌 {∞}n
{4,3n-3,4}
{4,3n-4,31,1}
...

双曲

六维或以上的维度皆不存在紧空间与仿紧空间的双曲堆砌。不过,任何的{p,q,r,s,...}形式(其中p,q,r,s,...是大于二的自然数或无限大)以上并不包括n维空间的非紧镶嵌。

非紧镶嵌
非紧镶嵌的考克斯特群
总数
三维(退化四维) [3,3,7] ... [∞,∞,∞]: CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png

[4,3[3]] ... [∞,∞[3]]: CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel branch.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
[5,41,1] ... [∞1,1,1]: CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel split1-44.pngCDel nodes.png ... CDel node.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel split1-ii.pngCDel nodes.png
... [(5,4,3,3)] ... [∞[4]]: ... CDel label5.pngCDel branch.pngCDel 4a3b.pngCDel branch.png ... CDel labelinfin.pngCDel branch.pngCDel iaib.pngCDel branch.pngCDel labelinfin.png
... [4[]×[]] ... [∞[]×[]]: ... CDel node.pngCDel split1-ii-i.pngCDel branch.pngCDel split2-ii.pngCDel node.png
... [4[3,3]] ... [∞[3,3]]

四维(退化五维) 186 ...[3[3,3,3]]:CDel pent.png ...
五维(退化六维) 66
六维(退化七维) 36 [31,1,1,1,1,1]: CDel node.pngCDel branch3.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel branch3.pngCDel node.png ...
七维(退化八维) 13

[3,3,3[6]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png
[3,3[6],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[2+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[1+5],3]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3[ ]e×[3]]:CDel node.pngCDel splitsplit1.pngCDel nodeabc.pngCDel 3abc.pngCDel nodeabc.pngCDel splitsplit2.pngCDel node.png

[4,3,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[31,1,3,33,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,(3,3,4)1,1]:CDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[32,1,3,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[4,3,3,32,2]:CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png
[31,1,3,32,2]:CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.png

八维(退化九维) 10

[3,3[3+4],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png
[3,3[2+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split5b.pngCDel nodes.png

[32,1,32,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [33,1,33,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[33,1,3,3,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,3,2]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[32,2,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[32,2,33,4]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[32,2,3,3,31,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

九维(退化十维) 8 [3,3[8],3]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

[3,3[3+5],3]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png
[3,3[9]]:CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel branch.png

[32,1,33,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [35,3,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[33,1,34,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png
[33,1,33,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[34,4,1]:CDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel 3ab.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
十维(退化十一维) 4 [32,1,34,32,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png [32,1,36,4]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 4a.pngCDel nodea.png

[32,1,35,31,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

[37,2,1]:CDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel branch.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.pngCDel 3a.pngCDel nodea.png

复合正图形

二维复合正多边形

n=2..10, nk≤30的复合正多边形
Regular star figure 2(2,1).svg
2{2}
Regular star figure 3(2,1).svg
3{2}
Regular star figure 4(2,1).svg
4{2}
Regular star figure 5(2,1).svg
5{2}
Regular star figure 6(2,1).svg
6{2}
Regular star figure 7(2,1).svg
7{2}
Regular star figure 8(2,1).svg
8{2}
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2{14}
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2{14/3}
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2{14/5}
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2{15}英语Triacontagon
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2{15/2}
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2{15/4}
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2{15/7}

抽象正图形

多面体 DU36 medial rhombic triacontahedron.png
内侧菱形三十面体
Dodecadodecahedron.png
十二合十二面体
DU41 medial triambic icosahedron.png
内侧三角星化二十面体
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
双三斜十二面体
Excavated dodecahedron.png
凹五角锥十二面体
顶点图 {5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/2)2
Dodecadodecahedron vertfig.png
{5}, {5/2}
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
(5.5/3)3
Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png
Medial triambic icosahedron face.png
30个菱形
Rhombus definition2.svg
12个五边形
12个五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20个六边形
Medial triambic icosahedron face.png
12个五边形
12个五角星
Regular polygon 5.svgPentagram green.svg
20个六边形
Star hexagon face.png
镶嵌 Uniform tiling 45-t0.png
{4, 5}
Uniform tiling 552-t1.png
{5, 4}
Uniform tiling 65-t0.png
{6, 5}
Uniform tiling 553-t1.png
{5, 6}
Uniform tiling 66-t2.png
{6, 6}
χ −6 −6 −16 −16 −20

参见

注释

  1. ^ 比如多边形、多面体这种包围有限空间的图形
  2. ^ 退化的形状,比如退化成平面的多面体,无法包围住一个有限空间的图形
  3. ^ 退化的形状,但是由于发散因此也无法包围住一个有限空间的图形
  4. ^ 多个形状组成的几何图形,例如二复合三角形(六角星)
  5. ^ -1维度就是空集合
  6. ^ 没有任何一种维度存在平面的星形正镶嵌、密铺或堆砌。
  7. ^ 空多胞形
  8. ^ 点可以密铺于零维空间
  9. ^
  10. ^ 即使一百万边形被画成地球一样大,也很难与圆形区分。
  11. ^ 11.0 11.1 11.2 11.3 此无限为奇数的极限

外部链接


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