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求和符号

求和符号Σ,sigma),是欧拉于1755年首先使用的。这个符号是源于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。[来源请求]求和的结果是给定的数值相后的总值,又称加总

举例而言,若有4个数值:1、3、5、7,则这4个数值的总和为:

扩展为数学的一般式:若有个数值,则此个数值的总和为:

上式的等号右段在数学上常简洁地写为:

上式意思为项(,即)到项的求和。

求和方法

  1. 裂项法:利用求出
  2. 错位相减法:透过两个求和式的相减化简求和数列的求和方法。
  3. 倒序求和:对于有对称中心的函数首尾求和
  4. 逐项求导:可从推导出
  5. 阿贝尔变换

含多项式求和公式

以下设p为多项式,

是对一个多项式求和,自然数方幂和、等幂求和、等差数列求和都属于对多项式求和。

  • 帕斯卡矩阵形式
  • 差分变换形式

为多项式,易求高阶导数时,有封闭型和式

  • 有限和有封闭型和式
    当p为常数时,是对等比数列求和,当p为一次多项式时,是对差比数列求和。

,其中调和数调和级数

组合数求和公式

一阶求和公式

二阶求和公式

范德蒙恒等式与超几何函数有关系:

三阶求和公式

范德蒙恒等式与广义超几何函数有关系:

定积分判断总和界限

在[a,b]单调递增时:

在[a,b]单调递减时:

求和函数

为例:

symskn;symsum(k^9,k,1,n)
 In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
 Out[1]:= 

参考资料

  1. ^ 赵丽棉 黄基廷. n次单位根在代数问题中的应用. 高等数学研究. 2010, (4).
  2. ^ 徐更生 何廷模. 斐波那契数列与组合数的一个关系及推广. 中学教研. 1991, (10).
  3. ^ 伍启期. 组合数列求和. 佛山科学技术学院学报(自然科学版). 1996, (4).
  1. ^ 马志钢. 倒序求和几例. 中学生数学. 2006, (5).
  2. ^ 郭子伟. 高中基础数列知识微型整理. 数学空间. 2011, (1): 第11页.
  3. ^ 吴炜超. 数列{n^m.k^n}的求和方法. 数学空间. 2011, (7): 第38–39页.
  4. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7).
  5. ^ Károly Jordán. Calculus of Finite Differences.
  6. ^ Murray Spiegel. Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations.
  7. ^ 黄嘉威. 方幂和及其推广和式. 数学学习与研究. 2016, (7).
  8. ^ 刘治国. 一类指数型幂级数的求和. 抚州师专学报. 1994, (01): 第65–66页.
  9. ^ 吴炜超. 数列不等式的定积分解法. 数学空间. 2011, (5): 第23–26页.

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