万维百科

泰勒斯定理

泰勒斯定理:如果AC是直径,那么∠ABC是直角。

泰勒斯定理(英语:Thales' theorem)以古希腊思想家、科学家、哲学家泰勒斯的名字命名,其内容为:若A, B, C圆周上的三,且AC是该圆的直径,那么∠ABC必然为直角。或者说,直径所对的圆周角是直角。该定理在欧几里得几何原本》第三卷中被提到并证明。

泰勒斯定理的逆定理同样成立,即:直角三角形中,直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

证明

证法一

以下证明主要使用两个定理:

O圆心,因为OA = OB = OC,所以△OAB和△OBC都是等腰三角形。因为等腰三角形底角相等,故有∠OBC = ∠OCB,且∠BAO = ∠ABO。设α = ∠BAOβ = ∠OBC。在△ABC中,因为三角形的内角和等于180°,所以有

证法二

泰勒斯定理也可以用三角学方法证明,证明如下:

O =(0, 0), A =(-1, 0), C =(1, 0)。此时,B就是单位圆上的一点。我们将通过证明ABBC 垂直,即它们的斜率之积等于–1,来证明这个定理。计算ABBC的斜率:

并证明它们的积等于–1:

注意以上证明过程中运用了毕达哥拉斯三角恒等式

逆定理的证明

此证明使用两线的向量形成直角三角形当且仅当内积为零。设有直角三角形ABC,和以AC为直径的圆O。设O在原点,以方便计算。则ABBC的内积为:

AB与圆心等距,即B在圆上。

一般化以及有关定理

泰勒斯定理是“同弧所对的圆周角圆心角的一半”的一个特殊情况。

以下是泰勒斯定理的一个相关定理:

如果AC是一个圆的直径,则:
  • B在圆内,则∠ABC > 90°
  • B在圆上,则∠ABC = 90°
  • B在圆外,则∠ABC < 90°

历史

泰勒斯并非此定理的首名发现者,古埃及人和巴比伦人一定已知这特性,可是他们没有给出证明。


本页面最后更新于2021-07-06 17:44,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器