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满射盖射(英语:surjection、onto),或称满射函数映成函数,一个函数为满射,则对于任意的陪域 中的元素 ,在函数的定义域 中存在一点 使得 。换句话说,是满射时,它的值域与陪域相等,或者,等价地,如果每一个陪域中的元素 原像 不等于空集合。

例子和反例

函数,定义为,不是一个满射,因为,(举例)不存在一个实数满足

但是,如果把的陪域限制到只有非负实数,则函数为满射。这是因为,给定一个任意的非负实数,我们能对求解,得到


Bijection.svg
双射(单射与满射)

Injection.svg
单射但非满射

Surjection.svg
满射但非单射

Total function.svg
非满射非单射

性质

根据定义,函数为双射当且仅当它既是满射也是单射

若将定义在上的函数,视为其图像,即集合论经常如此行),则满射与否,不仅是的性质,而是映射(需要声明陪域)的性质。单射与否可以单凭图像判断,但满射则不同,不能单凭图像判断,因为要知道陪域。

右可逆函数

函数称为函数右逆,意思是的所有元素成立。简而言之,的效果,可以复原。用文字表示,的右逆,意思是先做后做复合,等于上的恒等函数,即不造成任何变化。此处不要求的真正反函数,因为另一次序的复合,不必是的恒等函数。换言之,可以“复原”或“抵消”,但不必被复原或抵消。

若函数有右逆,则必为满射。但反之,“每个满射皆有右逆”此一命题,等价于选择公理,故在某些集合论(例如假设确定性公理英语Axiom of determinacy)中,不必为真。

为满射,子集,则,即从预象,可以找回

右可消去

函数是满射,当且仅当其为右可消去英语right-cancellative:给定任何两个有公共定义域和陪域的函数,若,则有。此性质的叙述用到函数和复合,可以对应推广成范畴态射和复合。右可消的态射称为满态射英语epimorphism满同态。满射与满态射的关系在于,满射就是集合范畴中的满态射。

范畴论中,有右逆的态射必为满态射,但反之则不然。态射的右逆也称为截面英语section (category theory)。而有右逆的态射称为分裂满态射英语split epimorphism,是一类特殊的满态射。

作为二元关系

为定义域,为值域的函数,可以视为两集合之间的左全英语left-total relation右唯一英语right-unique relation的二元关系,因为可将函数与图像等同。此观点下,由的满射,是右唯一而既左全又右全的关系。

定义域不小于陪域

满射的定义域,必有大于或等于其陪域的基数:若为满射,则的元素个数必定至少等于的元素个数(在基数意义下)。但此结论的证明,需要假定选择公理,以证明有右逆,即存在函数使得的任意元素成立。满足此性质的必为单射,故由基数大小比较的定义,有

特别地,若皆是有限,且两者的元素个数相同,则是满射当且仅当单射

给定两个集合,以表示“或者,或者存在由的满射”。利用选择公理,可以证明,两者一起,足以推出。此为康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理的变式。

复合与分解

两个满射的复合仍是满射:若皆为满射,且的陪域是的定义域,则也是满射。反之,若为满,则是满射,但不必为满射。与右可消去一节一样,从集合范畴的满射,可以推广到一般范畴满态射

任何函数都可以分解成一个满射与一个单射的复合:对任意,都存在满射和单射使得,取法如下:定义为所有原像的集合,其中历遍值域。该些原像两两互斥,且划分。于是,将每个映到包含的原像(此为的元素),然后再将的每个元素(形如)映到相应的。则为满射(因为中的元素,是原像,且非空,故有某个,所以由的定义有),而根据的定义,其为单射。

导出满射和导出双射

任何函数,若将其陪域限制成值域,则可以视为满射,称为其导出满射。任何满射,若将定义域换成商集,即将函数值相同的参数,折叠成同一个“等价类”,则得到一个双射,其由等价类组成的集合,射去原函数的陪域。以符号表示,每个满射可以分解成先做一个商映射,再做一个双射。考虑以下等价关系当且仅当。以表示此等价关系下,的等价类的集合。换言之,所有原像的集合。以表示将映到等价类商映射,又设,定义为,则。由定义知,是满射,而是双射。

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参考文献

  1. ^ T. M. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 1981: 35.
  2. ^ Goldblatt, Robert. Topoi, the Categorial Analysis of Logic [拓扑斯,逻辑的范畴论分析] Revised. Dover Publications. 2006 [1984] [2009-11-25]. ISBN 978-0-486-45026-1 (英语).

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