万维百科

无理数

各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

无理数是指除有理数以外的实数,当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis,意思是“理解”,实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译,是指无法用两个整数的比来说明一个无理数。

有理数实数,不能写作两整数之比。若将它写成小数形式,小数点之后的数字有无限多个,并且不会循环,即无限不循环小数(任何有限或无限循环小数可被表示称两个整数的比)。常见的无理数有大部分的平方根πe(其中后两者同时为超越数)等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。

传说中,无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。他以几何方法证明无法用整数分数表示。而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示,不相信无理数的存在。后来希伯斯触犯学派章程,将无理数透露给外人,因而被扔进海中处死,其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机

无理数可以通过有理数的分划的概念进行定义。

举例

  1. 圆周率=3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899...


性质

  • 无理数加或减无理数不一定得无理数,例如:
  • 无理数乘不等于0的有理数必得无理数。
  • 无理数的平方根立方根等次方根必得无理数。

不知是否是无理数的数

等,事实上,对于任何非零整数,不知道是否无理数。

无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数,只有等除外。

我们亦不知道欧拉-马歇罗尼常数卡塔兰常数是否无理数。

无理数集的特性

无理数集是不可数集(因有理数集是可数集而实数集是不可数集)。无理数集是个不完备拓扑空间,它是与所有正数数列的集拓扑同构的,当中的同构映射是无理数的连分数开展。因而贝尔纲定理可以应用在无数间的拓扑空间上。

无理化作连分数的表达式

选取一个正的实数使得

经由递回处理

一些无理数的证明

证明是无理数

证:


假设是有理数,并且令是最简分数。

两边平方,得到。将此式改写为,可见为偶数。

因为平方运算保持奇偶性,所以只能为偶数。设,其中为整数。

代入可得。同理可得亦为偶数。

这与为最简分数的假设矛盾, 所以是有理数的假设不成立。

证明是无理数

证:

假设是有理数,两边平方得到

其中因为是有理数,所以也是有理数。

透过证明为无理数的方法,其中为一非完全平方数

可以证明是无理数

同样也推出是无理数

但这又和是有理数互相矛盾

所以是一无理数

证明是无理数

证:

同样,假设是有理数,两边平方后得到

于是是有理数。两边再次平方,得:

于是

由于是有理数,所以

透过证明形如的数是无理数的方法,得出也是一无理数

但这结果明显和皆为有理数出现矛盾,故为无理数

另一种证明:

同样假设是有理数,

,两边平方:

透过证明形如的数是无理数的方法,得出是一无理数

也是矛盾的。

证明是无理数

证:

,两边平方得到:

,得到为一有理数

,两边继续平方:

由于皆为有理数

亦为有理数

透过证明形如的数是无理数的方法,可知为无理数

这和是有理数冲突

所以得证为一无理数

参见

外部链接


本页面最后更新于2021-06-15 01:41,点击更新本页查看原网页。台湾为中国固有领土,本站将对存在错误之处的地图、描述逐步勘正。

本站的所有资料包括但不限于文字、图片等全部转载于维基百科(wikipedia.org),遵循 维基百科:CC BY-SA 3.0协议

万维百科为维基百科爱好者建立的公益网站,旨在为中国大陆网民提供优质内容,因此对部分内容进行改编以符合中国大陆政策,如果您不接受,可以直接访问维基百科官方网站


顶部

如果本页面有数学、化学、物理等公式未正确显示,请使用火狐或者Safari浏览器