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无穷远线

几何拓扑学里,无穷远线(line at infinity)是一条附加于实(仿射)平面的投影线,以形成一个投影平面。加上无穷远线后,投影平面上的重合性质才具有封闭性,而没有例外。无穷远线亦被称为理想线

几何描述

在投影几何里,任何一对线总是会相交于某个点上;但在实平面上,平行线不会相交。将无穷远线附加于实平面上,可完备该平面,使平行线亦可相交于无穷远线上的一点。此外,若任何一对线相交于无穷远线上的一点,则这对线是平行的。

每条线都会与无穷远线相交于某一个点上。平行线相交的点仅取决于这些线的斜率,而与这些线的y-截距无关。

在仿射平面里,一条线会向两个相反的方向延伸。在投影平面里,一条线的两个相反方向会相交于无穷远线上的一点。因此,投影平面上的线为封闭曲线,即为环形,而非线形。这对无穷远线本身也是真的;无穷远线会在其两端相交,因此该线实际上是环形的。

拓扑观点

无穷远线可被视为围绕着仿射平面的圆。不过,此圆的对极点是相同的点。结合仿射平面与无穷远线会产生实投影平面

双曲线可被视为一条与无穷远线相交于两个不同点上的封闭曲线。这两个点由双曲线的渐近线之斜率决定。同样地,抛物线可被视为一条与无穷远线相交于一个点上的封闭曲线。该线由抛物线的轴之斜率决定。若抛物线从其顶点被切进一对对称的“角”,这两个角越远离顶点会越平行,且确实会在无穷远点平行抛物线的轴,并且相交。因此,这两个角会相交于无穷远线上。

对复投影平面而言,无穷远“线”自然是一个复投影线;不过在拓扑上却有很大的不同。复投影线是一个黎曼球面,因此是个二维球体,附加于复数上的二维复仿射平面之上,且该平面会形成一个四维紧致流形。该流形是可定向的,但实投影平面则不能。

虚圆点

无穷远线于十九世纪的几何学里被大量地使用。实际上,最实用的技巧之一为将圆视为通过两个无穷远点的圆锥曲线

各圆与直线在无穷远处之相交点可透过设定 z = 0 而取得。如此,则会导出方程

X2 + Y2 = 0.

解此方程的解,可发现每个圆都会“通过”虚圆点

I = [1:i:0] and J = [1:−i:0].

对任一组齐次座标而言,这两点都是复数点。然而,因为投影平面具有足够大的对称群,这两点没有什么特别之处。因此,三个参数的圆族可被视为是圆锥曲线这个线性系统中会通过两个不同的点P与Q的特例。

另见

参考资料

  • Casey, J., A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples, 5th ed., rev. enl. Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888
  • Kimberling, C., "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998
  • Lachlan, R., An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry, sect. 10. London, Macmillan, p. 6, 1893
  • Graustein, W. C., Introduction to Higher Geometry. New York, Macmillan, p. 30, 1930
  • Oldknow, A., "The Euler-Gergonne-Soddy Triangle of a Triangle." Amer. Math. Monthly 103, 319-329, 1996
  • Wells, D., The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London, Penguin, pp. 141–142, 1991

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