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无限边形本文重定向自 無限邊形

(重定向自正無窮邊形)
正无限边形
Regular apeirogon.png
类型正多边形
顶点
施莱夫利符号{∞}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
对称群二面体群 (D), order 2×∞
旋转群D
内角180°
对偶正无限边形 (本身)
特性非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 直线
直线的无限边形可透过将顶点看作逆时针方向的,自右向左的来定义出其内部的区域,下图中的正无限边形以箭头的方向决定了其内部为上方的半平面,以水蓝色()表示
也因为如此,两个正无限边形就可以填满整个平面。当两个正无限边形密铺了平面之后所形成的图形称为二阶无限边形镶嵌,意为每个顶点都是两个正无限边形的公共顶点,其顶点图可以计为 ∞.∞.

几何学中,无限边形(英语:Apeirogon)是指有无限多条多边形,是多边形的一种,每个无限边形皆具有无限无限顶点

欧几里得几何中,无限边形是一个退化多边形,其边数是可数集的数量。无限边形跟多边形一样,有顶点、和,只是他们呈一直线。换句话说,无限边形的所有顶点都共线,即他们都会落在一条直线上。但是,一个多边形不能存在端点,实际上无限边形也没有端点,因为要达到无限的数量永远无法在任何一个方向找到端点。无限边形并不是圆形,因为在多边形的定义中,边不能为曲线

无限边形可以视为平面正镶嵌无限面体)在二维空间的类比。无限边形可以围出一个半平面,因此2个无限边形即可密铺一个平面,称为正无限边形镶嵌

正无限边形

正无限边形正多边形的一种,是指每条都等长、每个都等角的无限边形,就如同一般的正多边形。在施莱夫利符号中可用{∞}来表示。正无限边形的内角180,为一平角,因此整个正无限边形似乎是一条直线

正无限边形可以有外接圆内切圆,但他们的半径必须是无限大

平面镶嵌
半正
∞.∞ 2 4.4.∞ 3.3.3.∞
Apeirogonal tiling.png Apeirogonal hosohedron.png Infinite prism tiling.png Infinite antiprism.png
{∞, 2}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png
{2, ∞}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
t{2, ∞}
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.png
sr{2, ∞}英语Apeirogonal antiprism
CDel node h.pngCDel infin.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png

正无限边形也可以看作是四种平面的正与半正镶嵌图和五种均匀对偶镶嵌图内的线性集。

3种方向 1种方向 2种方向
Tiling Semiregular 3-6-3-6 Trihexagonal.svg
截半六边形镶嵌
Tiling Regular 3-6 Triangular.svg
正三角形镶嵌
Tiling Semiregular 3-3-3-4-4 Elongated Triangular.svg
异扭棱正方形镶嵌
Tiling Regular 4-4 Square.svg
正方形镶嵌
3种方向 6种方向 1种方向 4种方向
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
鸢形镶嵌
Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg
三角化三角形镶嵌
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
六角化三角形镶嵌
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-4-4 Prismatic Pentagonal.svg
柱形五边形镶嵌
Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square.svg
四角化正方形镶嵌

其他无限边形

如同一般的多边形,无限边形一样可以分为正多边形、等边、等角等种类。

等角无限边形是指每个角都相等的无限边形。

等边无限边形是指每个边都等长的无限边形,由于等角未必等边,因此等角无限边形或等边无限边形不一定是正无限边形,但正无限边形必等边且等角。

不等边无限边形(英语:Scalene apeirogon)不等边的无限边形(类似三角形中的不等边三角形)。

不规则无限边形(英语:Irregular apeirogon)不等边也不等角的无限边形。

点可递无限边形(英语:Isogonal apeirogon)是指等角但有两种不同的边长交错出现(类似四边形中的矩形)。

半正无限边形(英语:Quasiregular apeirogon)是指等边的点可递无限边形。

边可递无限边形(英语:Isogonal apeirogon)是点可递无限边形的对偶多边形,具有相同的边长但有两种不同的角(类似四边形中的菱形),几何上等同于正无限边形,可在顶点上交替上色以便看出其差异。

... Regular apeirogon.png ...
半正 ... Uniform apeirogon.png ...
点可递英语Isogonal figure ... Isogonal apeirogon linear.png ...
边可递英语isotoxal figure ... Isotoxal linear apeirogon.png ...

扭歪无限边形

扭歪无限边形(英语:Skew apeirogon)是一种顶点不共线的无限边形。正的扭歪无限边形可由正镶嵌图的皮特里多边形构造。

二维的正扭歪无限边形
Petrie polygons of regular tilings.png

双曲面上的无限边形

无限边形和其外接极限圆英语horocycle

在双曲面上的无限边形最著名的是正无限边形, {∞},其位于双曲面上时能够像有限边数的正多边形一样拥有曲率,但其外接圆并非圆形而是双曲极限圆或双曲超圆形。由于多边形的定义是平面上由一系列线段首尾连接起来的封闭图形,在双曲面无限边形的边在无穷远处首尾相接并在双曲面上形成一个封闭的区域。有时外接圆为超圆形的无限边形因具有发散镜射形式无法像一般的无限边形在无穷远处首尾相接,因此又称伪多边形

正无限边形的边会合于双曲面面上的无穷远处(庞加莱模型的圆周上)在施莱夫利符号中用{∞}表示,并存在外接圆:双曲极限圆。

施莱夫利符号为{∞,3}的双曲正镶嵌图具有无限边形的面。双曲的无限边形也存在仅等边的无限边形或半正无限边形,像是截角无限边形t{∞},例如施莱夫利符号为tr{∞,3}的镶嵌图,存在两组不同的边长,交错的与三角形或其他无限边形相邻。

有无限边形的正镶嵌图
3 4 5
H2 tiling 23i-1.png
{∞,3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
H2 tiling 24i-1.png
{∞,4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.png
6 7 8 ...
H2 tiling 26i-1.png
{∞,6}英语Order-6 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel node.png
H2 tiling 27i-1.png
{∞,7}英语Order-7 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 7.pngCDel node.png
H2 tiling 28i-1.png
{∞,8}英语Order-8 apeirogonal tiling
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 8.pngCDel node.png
H2 tiling 2ii-1.png
{∞,∞}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel infin.pngCDel node.png
有无限边形的半正镶嵌图
{∞, 3} tr{∞, 3}英语Truncated triapeirogonal tiling tr{12i, 3}
Hyperbolic apeirogon example.png
正: {∞}
H2 tiling 23i-7.png
半正: t{∞}
H2 tiling 23j12-7.png
伪半正: t{12i}

伪多边形

正伪多边形, {iπ/λ}, 庞加莱圆盘模型上, 每条垂直镜射线相隔距离为λ单位长

诺曼·约翰逊英语Norman Johnson (mathematician)将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形,其外接圆为超圆形英语Hypercycle_(geometry),正伪多边形在施莱夫利符号中用{iπ/λ}表示,其中λ表示发散垂直镜射的周期距离,用以代表其具有比无限边形更多的边与顶点,又称为超无限边形。

超无限边形又称伪多边形,其外接圆为超圆形英语Hypercycle_(geometry)

无限角星

正无限角星
Regular star polygon inf-4.png
正无限角星形{∞/4}、CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png
顶点
施莱夫利符号{∞/p}
{∞|∞/2}
考克斯特图英语Coxeter diagramCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel p.pngCDel node.png
对称群二面体群 (D)
对偶自身对偶
特性星形等边、等角

无限角星(英语:Apeirogram)又称为无限芒星,是指有无限多个顶点的星星图形,几何学中是边自我交叉的无限边形,由于平面上的正无限边形顶点皆共线,因此平面上无法构造出无限角星,但双曲面上的无限边形因存在外接圆极限圆因此可以构造出无限角星。

在几何上,正无限角星能够有有无限多种,在施莱夫利符号中用{∞|n}表示,其中所述第二数字差别在绘制无限角星时顶点间隔数,若施莱夫利符号计为{∞|1}则为正无限边形,一般会省略后半只计{∞}。

Regular star polygon inf-2.png
{∞/2}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d2.pngCDel node.png
Regular star polygon inf-3.png
{∞/3}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png
Regular star polygon inf-4.png
{∞/4}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d4.pngCDel node.png
Regular star polygon inf-5.png
{∞/5}
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel rat.pngCDel d5.pngCDel node.png
Regular star polygon inf-6.png
{∞/6}
Regular star polygon inf-halfinf.png
{∞/(∞/2)}

亦有非正的无限角星,例如反截角无限边形,是反截角多边形系列的算数极限。

Regular truncation 3 -1.svg Regular polygon truncation 4 2.svg Regular polygon truncation 5 2.svg Regular polygon truncation 6 2.svg ... Antitruncation Apeirogon.png
反截角三角形
六角星
反截角正方形
八角星
反截角五边形
十角星
反截角六边形
十二角星
反截角无限边形
无限角星

此外,无限角星也可以是复合多边形,如同六角星大卫之星,由两个边数一半的多边形旋转后重叠而成。这种无限角星在施莱夫利符号中用{∞|2}、2{∞}、{{∞}}或{/2}表示,其由两个正无限边形旋转叠在一起,因此又称为二复合正无限边形,其交点是一个正无限边形。

Regular star polygon inf-slash-2.png
{∞|2}
2{∞}={{∞}}

参见

外部链接


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