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特征方程(characteristic equation)或辅助方程(auxiliary equation)为数学名词,是对应n微分方程差分方程英语linear difference equationn英语Degree of a polynomial代数方程。只有线性齐次常系数的微分方程或差分方程才有特征方程。考虑一微分方程,其因变量yan, an − 1, ..., a1, a0常数

其特征方程如下

根据其解r1, r2, ..., rn可以产生微分方程的通解。而一个线性差分方程

也有其特征方程

特征方程的根也可以提供动态方程的特性资讯。若是一个自变量为时间的微分方程,其因变量稳定的充份必要条件是每一个根的实部都是负值。若是差分方程,稳定的充份必要条件是每一个根的绝对值都小于1。针对这两种系统,若是有复数根,表示其解会振荡。

线性常系数常微分方程的积分求解法是由莱昂哈德·欧拉发现,他也发现了其解的特性和代数的“特征方程”有关。后来法国科学家奥古斯丁·路易·柯西加斯帕尔·蒙日也提及欧拉的特征方程,而且提到不少细节。

推导

考虑常系数的线性齐次微分方程 an, an − 1, ..., a1, a0,

假设y(x) = erx,而指数函数erx的导数是本身的倍数,y′ = rerx, y″ = r2erxy(n) = rnerx。因此上式中的每一项都会是erx的倍数。若r为特定值,可以让erx的倍数变为0,这样即可求解齐次微分方程。为了求解r,可以将y = erx及其导数替换到微分方程中,可以得到

因为erx不会为零,因此其系数必须为零,可以得到以下的特征方程

求解特征方程中的r,可以求得微分方程的通解。例如,若r为3,其通解为y(x) = ce3x,其中c积分常数

有关通解的公式

找到特征方程的根r1, ..., rn,就可以找到微分方程的通解。特征方程的根可能是实数复数,可能都是不同的值,也可能会有相同的值(重根)。若特征方程的根有相异的实根,另外有h个重根,或是k个复数的根,其解分别为yD(x), yR1(x), ..., yRh(x)yC1(x), ..., yCk(x),因此通解为

例子

以下是常系数的线性齐次微分方程

其特征方程为

将特征方程因式分解,可得到

可以看到r的解有一个单根,r1 = 3以及重根的复数根r2,3,4,5 = −1 ± i,因此其通解为

其中有常数c1, ..., c5

相异实根

根据应用在常系数线性齐次微分方程的叠加原理,若u1, ..., un是特定微分方程的n线性无关的解,则c1u1 + ... + cnun也是其解,其中c1, ..., cn为任意常数。因此,若特征方程有相异实根r1, ..., rn,则通解为

重根实根

若特征方程中有重复k次的根r1,可以确定yp(x) = c1er1x会是微分方程的解,不过这个解没有针对其他k − 1的根提供线性无关的解。因为r1k次重根,可以将微分方程改写为

.

因为yp(x) = c1er1x为其中的一个解,因此可以令通解为以下的形式y(x) = u(x)er1x,其中 u(x)是待确认的函数。将uer1x代入后可得

其中k = 1。上述的式子应用k次,可以得到

除以er1x后可得

上述式子当且仅当u(x)k − 1次的多项式,因此u(x) = c1 + c2x + c3x2 + ... + ckxk − 1.。因为y(x) = uer1x,因此通解中对应r1的解会是

复数根

若二阶微分方程有共轭复数r1 = a + bir2 = abi,其对应的通解为y(x) = c1e(a + bi)x + c2e(abi)x。利用欧拉公式e = cos θ + i sin θ),可以将通解改写如下:

其中c1c2是系数,不过可能不是实数,而且随初始条件而不同(因为y(x)是实数,c1c2需要是虚数或是零,c1 + c2为实数,为了要让等号右边为实数)

例如,若c1 = c2 = 1/2,可以得到特解y1(x) = eax cos bx,另外,若c1 = 1/2ic2 = −1/2i,可以得到另一个独立的解y2(x) = eax sin bx。利用重叠原则,有r = a ± bi复根的常系数线性齐次微分方程,其通解如下:

上述的分析也可以应用在高阶微分方程,其特征方程中也可能有非实数的共轭根。

参考资料

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