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离散正弦变换

离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform)是一种与傅立叶变换相关的变换,类似离散傅立叶变换,但是只用实数矩阵。离散正弦变换相当于长度约为它两倍,一个实数且奇对称输入资料的的离散傅立叶变换的虚数部分(因为一个实奇输入的傅立叶变换为纯虚数奇对称输出)。有些变型里将输入或输出移动半个取样。

一种相关的变换是离散余弦变换,相当于长度约为它两倍,实偶函数离散傅立叶变换。参考DCT本文有关边界条件和不同的DCT和DST关联的一般讨论。

应用

离散正弦变换常被用来由谱方法解偏微分方程,这时候离散正弦变换的不同的变数对应着两端不同的奇/偶边界条件。

定义

形式上,离散正弦变换是一个线性可逆函数,其中R实数集,或等价的说是一个 方阵。离散正弦变换有几种稍微不同定义的变形,皆根据以下公式之一把个实数变换到另个实数

DST-I

一个DST-I矩阵为正交矩阵(差一个系数)。

的实数abc的DST-I变换等价于8点实数0abc0(-c)(-b)(-a)(奇对称)的DFT转换,再除2(而DST-II~DST-IV等价于DFT有半个取样的位移)。

因而DST-I对应的边界条件是:奇对称,也对奇对称;也类似。

DST-II

DST-III

DST-IV

一个DST-IV矩阵为正交矩阵(差一个系数)。

DST V-VIII

反变换

DST-I的反变换是把DST-I乘以。 DST-IV的反变换是把DST-IV乘以。 DST-II的反变换是把DST-III乘以,反之亦然。

类似离散傅立叶变换,这些定义前面的归一系数只是习惯,不同人有不同定义。例如有人在变换前面乘,使反变换和变换在形式上更相似,而不需另外的归一系数。

计算

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外部链接


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