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离散正弦转换

离散正弦转换(DST,Discrete Sine Transform)是与离散傅立叶转换类似的一种转换,但是只使用纯实数。离散正弦变换相当于在离散傅立叶转换虚部的一个长度为两倍的转换,这个转换是对一个实数奇对称函数进行操作(因为一个实数奇对称函数的傅立叶转换为虚数奇对称),在有些变形中,需要将输入或输出位置平移半个取样单位。离散正弦转换有8种标准型态(8 types)。

有一个相关的变换是离散余弦变换(DCT, Discrete Cosine Transform),其相当于一个长度大概是它两倍的实数偶对称函数离散傅立叶变换。

应用

离散正弦转换经常在信号处理中被使用,常用来在特定状况下替代离散傅立叶转换,用以简化运算。此代换常在频谱分析或计算折积使用。例如在计算折积时,当函数x[n]为奇对称函数时,N点的离散傅立叶转换可以被 (N/2 −1)点离散正弦转换(type 1) 取代。

离散正弦转换常借由光谱方法被用来解偏微分方程式,此时离散正弦转换的不同的变数对应着方程式两端不同的奇/偶边界条件。

定义

离散正弦转换形式上为一个线性可逆函数 (R为实数集合),或可视为一 方阵。离散正弦变换有几种不同的变形,皆根据以下8种公式之一把N个实数变换到另N个实数

DST-Ⅰ

DST-Ⅰ矩阵是一个正交(orthogonal)矩阵。

DST-Ⅰ完全等同于对一个实数数列第零点与中间点奇对称,比例的离散傅立叶转换。例如,对一个N=3的实数数列(a,b,c)做DST-Ⅰ等同于对一个8个实数的奇对称数列(0,a,b,c,0,-c,-b,-a)做离散傅立叶转换结果的前半(与此相反的是,DST Ⅱ-Ⅳ在换成等校离散傅立叶转换时包含半个取样单位的位移)。这是因为正弦函数的分母为,这表示等校的离散傅立叶转换有个点,且相位频率为,故DST-Ⅰ的频率为

因而DST-I对应的边界条件是:对n = -1奇对称,也对n = N奇对称;也类似。

DST-Ⅱ

若进一步将乘上(可参考DST-Ⅲ的相似变化),可以使DST-Ⅱ矩阵是一个正交(orthogonal)矩阵,但会破坏与实数奇对称离散傅立叶转换在输入平移半取样单位后的直接对应关系。

DST-Ⅱ对应的边界条件是:对n = -1/2奇对称,也对n = N-1/2奇对称;对k = -1奇对称,对k=N-1偶对称。

DST-Ⅲ

若进一步将乘上(可参考DST-Ⅱ的相似变化),可以使DST-Ⅲ矩阵是一个正交(orthogonal)矩阵,但会破坏与实数奇对称离散傅立叶转换在输出平移半取样单位后的直接对应关系。

DST-Ⅲ对应的边界条件是:对n = -1奇对称,对n = N-1偶对称;对k = -1/2奇对称,也对k=N-1/2奇对称。

DST-Ⅳ

DST-Ⅳ矩阵是一个正交(orthogonal)矩阵。

DST-Ⅳ对应的边界条件是:对n = -1/2奇对称,对n = N-1/2偶对称;也类似。

DST Ⅴ-Ⅷ

DST Ⅰ-Ⅳ等校于实数奇对称离散傅立叶转换的偶次方,理论上存在其他类型的离散正弦转换(DST Ⅴ-Ⅷ),其等校于实数奇对称离散傅立叶转换的奇次方,但实际上这些变形在现实中很少使用。

反转换

DST-Ⅰ的反变换是把DST-Ⅰ乘以。 DST-Ⅳ的反变换是把DST-Ⅳ乘以。 DST-Ⅱ的反变换是把DST-Ⅲ乘以,DST-Ⅲ的反变换则是把DST-Ⅱ以

与离散傅立叶转换相同的是,归一系数的定义因人而异,例如有人会在转换式前乘上,使反转换和转换在形式上更相似,而不需要再乘上额外的归一系数。

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参考资料

  • S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
  • Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/页面存档备份,存于互联网档案馆). A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).
  • Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 12.4.1. Sine Transform", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
  • R. Chivukula and Y. Reznik, "Fast Computing of Discrete Cosine and Sine Transforms of Types VI and VII," Proc. SPIE Vol. 8135, 2011. [1]

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