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科学建模

(重定向自科学建模)
科学模型的例子。 一个与大气成分有关的化学和运输过程示意图。

科学模型 是科学研究中对一类研究方法的通称,使用数学公式、电脑模拟或简单的图示来表示一个简化的自然界,透过分析这个模型,以期能够进一步了解科学,包括说明、验证假说、或分析资料。依据不同需求,科学模型可以借由概念模型帮助我们了解现象,操作模型给出操作型定义数学模型帮助量化,以及用图象模型将抽象概念视觉化

科学模型是许多领域重要且不可分割的一部分,并且每种科学领域都有其特定的科学模型。以约翰·冯·诺伊曼所说过的一段话为例:

... 科学本身从来都不曾试图去解释自然现象,甚至是连诠释自然现象的企图都不曾有过,反而仅仅是建立模型。所谓的模型,就是——在数学意义上——去建构观察到的自然现象之间的数学关系。而此模型令人信服的唯一理由,就仅仅是因为它确实有用——能够描述足够广泛的自然现象。

近年来科学建模越发受重视,例如在科学教育科学哲学系统理论视觉化 (电脑图学)。科学建模也有其相关的科学方法、技术与形而上学等议题。

目标和方法论

化学B-Z反应的电脑模拟。此反应可以用霍普夫分岔来描述。

科学模型依其在科学方法中占据的位置,可以区分不同类型,包括概念模型概念验证模型、预测模型、推理模型、以及统计模型等等。许多时候,做实验是有困难的,所以用概念模型或预测模型代替实验,避免物理、法律、时间、经费等限制。模型是为了特定的目标而建,建模者根据自己的专业判断,将不重要的细节排除、并将未验证的资讯概括而入,最后达成目标。

同一个现象有时会有许多解释力一样好的模型,然而模型描述的原理却不同,这个现象叫作殊途同归(equifinality)。例如人们接受新产品的比率往往呈一S型曲线,这可能是因为每个人对新科技的接受度不同,少数人特别开放,少数人特别保守,大多数人介于中间;另一个可能是新科技的传播取决于现有使用者的人数和其竞争优势,因此使用者太少或太多都会降低其接受率,两个模型都会产生一样的曲线。如果模型之间在某些条件下会产生不同的预测,可能用实证研究判断哪个模型正确。

另一方面,有些完全不同的现象背后的数学原理却类似,可以用一样的模型来描述,例如生物族群大小的振荡、心律不整、化学的B-Z反应、以及水龙头滴水的速率都可以用霍普夫分岔来描述。在其著作《一种新科学》中,史蒂芬·沃尔夫勒姆主张大多数现象背后都有类似的简单数学原理,因此推动科学进展的最有效方法是研究各种基本数学现象,例如细胞自动机

概念模型

概念验证模型的说明图

概念模型是用模型来描述一个不容易用语言来描述的概念。概念模型可以用来说明一个科学理论假说,或是验证某个假说是否正确。好的概念模型可以清楚地说明系统运行的基本原理、排除不必要的资讯。如同实验中的控制环境,科学模型排除多余的变因,让因果关系变得明显。

预测模型

预测模型将已知的数据套入理论中,计算出未知数。根据预测结果可以判断模型的正确性、协助应对未来事件、比较不同决策的优劣等等。

统计模型

统计模型相当于假说和基本前提,代表的是产生数据的机制,将资料和统计模型一起放入资料分析后,可以判断模型是否正确。但如果统计模型的某些前提不正确,可能会会推出错误结论。一般来说, 统计模型是一个几率密度函数,数据依据该函数产生。例如前提是各班级的学生成绩是正态分布,假说是且甲班成绩低于乙班,依据学生t检验可以比较两班的成绩。常见的统计模型包括广义线性模型等。

有些研究者会用许多反映不同假说的模型各自分析资料,然后用赤池信息量准则或贝叶斯信息准则等方法判断哪一个模型“最好”,称为模型选择。然而最好的模型不见得最正确,例如在遇到对撞变因时,信息量准则会推荐错误的模型,因为在统计上控制对撞变因会让伪关系更强,造成对撞变因被误认为干扰变因

推理模型

推理模型(inference model)比较不同的假说和实验方法会产生什么样的数据,以了解科学研究过程中,科学家究竟可以从手边的数据分析出哪些合理的推论

建模的过程

在确立目标和模型在科学研究中的功能后,操作定义和量化、挑选假设前提 ,然后依据这些前提建立模型:

  • 图像模型:最简单,不使用实际的公式推导,而是用图象,例如经济学的供需曲线。
  • 数学模型:需要数学能力
  • 电脑模拟:最复杂,需要写程式的能力

首先必须明白问题的本质,才能根据研究目标将系统简化成模型,用图象、数学公式或程式码来表示各种概念。判断哪些核心部件必须保留、哪些可以简化是建模的重要步骤。如果所有的细节都包含在内,模型和真实世界是一样的,则没有使用模型的意义。在许多研究领域有许多现有的模型框架可以使用,例如赛局理论、流行病SIR模型、流体力学公式、化学反应速率方程等等,许多时候研究者可以直接套用旧有的框架来研究新问题。然而,就算是研究一样的问题,不同的研究者也可能因自己的偏好和对研究对象的理解不同而影响建模的判断。

建模时的种种假设前提会限制模型的适用范围。只有当前提正确时,模型才能保证正确,科学的进展往往始于用前提更广的模型来取代旧有模型。例如狭义相对论预设惯性参考系,而广义相对论进一步说明了这个前提的意义。

分析模型的方法有许多,包括计算模型的稳定状态、求极值、描述变数之间的关系、用电脑模拟找趋势等等。在变数的可能范围很广时,有时会在大范团快速扫描几个数值套入模型后的结果,然后再依据这些结果挑选有兴趣的范围作细部的分析,这种手段称为space mapping英语space mapping。一般来说,分析模型后需要将结果可视化

常用软件

现代科学模型往往需要用到电脑,不管是计算复杂的算式、是将大量数据套入模型分析、作图、或是电脑模拟皆然。在各领域,科学建模有许多不同模拟软件和编程语言,也有人开发了协助建模的图形界面。目前常见的包括MathematicaMatlabPython、Open Source Physics、Easy Java Simulations、 STELLA、Wolfram SystemModeler等等。

模型的好坏

怎样才算是好的模型是科学哲学科学史学者尚在研究的问题。常见的观点是好的模型应该要有以下特质:

  1. 漂亮,没有专为特定目标而存在的修改(ad hoc modifications)
  2. 简约,少有任意、可改动的变数(奥卡姆剃刀
  3. 有解释力,和现有的各种证据吻合
  4. 能产生精确的预测,未来有机会否证
  5. 可以提供重要的见解、指引未来的研究。

然而这些判准是主观的,没有固定的标准,而且符合这些特质的模型不见得比较正确,例如爱因斯坦曾说:“所有的东西应该尽可能地简单,但不能比这更简单。”除此之外,历史上发生的各种典范转移是否都是如此换成更好的模型也有争议,例如日心说的解释力在当时并没有比地心说更高。

各领域的模型发展史

微积分和物理

17世纪是微积分的发展时期,戈特弗里德·威廉·莱布尼茨艾萨克·牛顿两人几乎同时使微积分观念成熟,澄清微、积分之间的关系,使计算系统化,并且把微积分大规模使用到几何与物理研究上。牛顿利用了微积分的技巧,由万有引力及运动定律出发说明了他的宇宙体系,解决天体运动,流体旋转的表面,地球的扁率,摆线上重物的运动等问题。

如今,纯物理的模型大多为概念验证模型,例如标准模型以及其他尚未确认的弦论多重宇宙等。应用物理的模型则较多模拟和预测。

人口和族群动力模型

1798年马尔萨斯提出人口指数成长模型。

1925和1926年,洛特卡-沃尔泰拉方程,成为生态学以及演化生物学描述生物互动的基础。之后Kermack–McKendrick theory英语Kermack–McKendrick theory为流行病学的分室系统方法英语compartmental model打下基础。1945年,莱斯利矩阵英语Leslie matrix将不同年龄的生殖和存活率列入考虑,用线性代数更详尽地描述生物族群的成长。

几率和统计模型

1906年的马可夫链描述离散状态、离散时间的随机转换。

1908年和1909年的哈温平衡描述不同基因型在族群中的基因频率,是遗传学的基础。卡尔·皮尔森法兰西斯·高尔顿等人开始发展生物统计学,之后罗纳德·费雪休厄尔·赖特JBS·霍尔丹等人计算生物基因或性状在族群中的分布,促生现代演化综论,包括族群遗传学、计量遗传学等各种模型。因为基因频率和几率的关系密不可分,许多模型描述的是随机过程,例如描述遗传漂变赖特-费雪模型英语Wright-Fisher modelMoran模型英语Moran process

供需模型

供给与需求的模型解释了产品的数量和需求间的互动。图中解释从D1到D2的需求移动,会连带地使得产品的供给数量和价格提高,如此一来才能达到新的均衡点。

供给和需求的概念早在中世纪一些穆斯林经济学家即有。在欧洲的学术界,1767年詹姆士·斯图亚特、1776年亚当·斯密、1817年李嘉图都有使用。1838年法国数学家古诺首先发展一个数学化的供需模型。

19世纪晚期边际效用学派兴起,这个学派以英国经济学家杰文斯奥地利经济学家门格尔法国经济学家瓦尔拉斯为首。他们理论的共同点是价格是由生产决策的边际价格决定。这是自从亚当·斯密关于如何决定供给价格的思想以来一个非常重要的改变。1870年作者弗莱明·詹金(Fleeming Jenkin)首先在论文里绘出第一条供给曲线和需求曲线,包括使用比较静态的办法研究供给和需求在劳动市场的应用 。这个模型后来被马歇尔在其1890年的教科书著作《经济学原理》(Principles of Economics)进一步发展及普及。

赛局

对于博弈论的研究开始于1913年的恩斯特·策梅洛、后经埃米尔·博雷尔冯·诺伊曼奥斯卡·摩根斯坦,在1940年代系统化和形式化。随后约翰·福布斯·纳什利用不动点定理证明了均衡点的存在,为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。纳什和约翰·C·海萨尼莱因哈德·泽尔腾因为他们对博弈论的贡献而获得1994年的诺贝尔经济学奖罗伯特·J·奥曼、肯·宾摩尔、戴维·克瑞普斯及阿里尔·鲁宾斯坦也对博弈论做出重大贡献。

1970年代,约翰·梅纳德·史密斯英语John Maynard Smith乔治·普莱斯英语George R. Price将赛局理论应用到生物学上,建立演化均衡策略英语evolutionary stable strategy的概念。

电脑

电脑的发展对科学模型有重要的贡献,许多本来过于困难或花时间的计算都因为电脑而得以进行。1940年代发展的蒙地卡罗方法用乱数来解决很多计算问题,例如和马可夫链结合后处理贝氏统计模型。硬件的升级以及平行运算等技术则让大数据得以发展。机器学习甚至让模型的复杂度超过人类可以理解的范围。

电脑的快速运算促成许多仰赖模拟的科学模型,例如强调个体差异的个体为本模拟为生态学作出重大贡献。气象预报模型则描述难以用有限的数学公式推算的复杂系统。透过模拟有机化学的各种机制,电脑模拟也用在找寻新药物以及芯片设计。

心理学

1971年,Schelling用个体为本模型说明为什么即使人们没有种族主义倾向,居住区域也可能发生种族隔离,是最早将科学模型用在心理学的例子之一。现在,科学模型、质化研究、量化研究、访问、和文本分析是心理学的五大研究方法。

科学模型也广泛应用在认知科学,例如用电脑模拟几种不同的规则来判断语句应如何发生闽南语连续变调,以研究语言学习的认知过程。

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