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积空间本文重定向自 积拓扑

拓扑学数学的相关领域中,积空间是指一族拓扑空间笛卡儿积,并配备了一个称为积拓扑的自然的拓扑结构。

定义

I为(可能无穷的)指标集,并设XiI中由i所对应的每一个拓扑空间。置X = Π Xi,也即集合Xi卡积。对于每个I中的i,我们有一个标准投影 pi : XXiX上的积拓扑定义为所有投影pi在该拓扑下连续的最疏拓扑(也就是开集最少的拓扑)。该乘积拓扑有时也称为吉洪诺夫拓扑

很明显,X上的乘积拓扑可以表述为形为pi−1(U)的集合生成的拓扑,其中i属于I,而UXi的一个开集。换句话说,集合{pi−1(U)}构成X上的拓扑的子基。X子集是开的当且仅当它是(可能无穷多的)的有限个形为pi−1(U)的集合的交集并集pi−1(U)有时称为开柱,而它们的交集称为柱集。

我们可以用构成X的空间Xi的基来表述乘积拓扑的。设对于每个i属于I,选取一个集合Yi或者是整空间Xi或者是该空间的一个基,并且满足Xi = Yi对于除了有限个I中的i之外的所有i成立。令B为集合Yi的卡积。所有可以这样构造的B集合的族构成乘积空间的一个基。这意味着有限多空间的乘积有一个由Xi的基元素的乘积组成的基。

如果指标集为有限(特别是,对于两个拓扑空间的乘积),则积拓扑有更简单的表述。这个情况下,每个Xi的拓扑的乘积构成X上的拓扑的一个基。一般来讲,Xi的拓扑的乘积构成一个称为X上的盒拓扑的基。一般情况下,盒拓扑比积拓扑更细,但是对于有限乘积,它们是相同的。

例子

实直线R上的标准拓扑开始,定义nR的乘积,就得到普通的Rn上的欧几里得拓扑

康托尔集同胚可数离散空间{0,1}的乘积而无理数的空间同胚于可数个自然数集的乘积,每个集合也是采用离散拓扑。

属性

乘积空间X加上标准投影,可以用如下的泛性质来刻划:若Y是拓扑空间,并且对于每个I中的ifi : YXi是一个连续映射,则存在恰好一个连续映射f : YX满足对于每个I中的i如下交换图成立:

乘积空间的特性

这表明乘积空间是拓扑空间范畴中的。从上述泛性质可以得出映射f : YX连续当且仅当fi = pi o f对于所有I中的i连续。在很多情况下,检查分量函数fi的连续性更为方便。检验映射f : YX是否连续通常更难;可以试着用某种方式利用pi连续这一点。

除了连续,标准投影pi : XXi也是开映射。这表示每个积空间的开子集投影到Xi上还是开集。反过来不真:若W是到所有Xi的投影都是开集的积空间的子空间,则W不一定是X中的开集。(例如,W = R2 \ (0,1)2.)标准投影通常不是闭映射

积拓扑有时称为点式收敛拓扑,因为:X上的一个序列 (或者)收敛当且仅当它所有到Xi的投影收敛。特别是,如果考虑所有在空间X = RI 对于所有I上的函数,在积拓扑上的收敛就是函数的点式收敛。

积拓扑的一个重要定理就是吉洪诺夫定理:任何紧致空间的乘积是紧致的。对于有限乘积很容易证明,而其一般情况等价于选择公理

和其它拓扑概念的联系

  • 可分离性
  • 紧致性
    • 每个紧致空间的积是紧致的(吉洪诺夫定理
    • 局部紧致空间的积不一定是局部紧致的。
  • 连通性
    • 每个连通(路径-连通)空间是连通的(路径-连通的)。
    • 每个遗传性不连通空间的积是遗传性不连通的。

每个"局部看起来"一个标准投影F × UU的空间称为纤维丛

参看


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