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空集

空集是不含任何元素的集合,数学符号为、∅或{ }。

符号

空集符号源自北欧拉丁字母,不是希腊字母。

空集的标准符号由尼古拉·布尔巴基小组创造,写作),首先见于他们在1939年出版的《数学原本卷一:集合论》(Éléments de mathématique. Livre 1. Théorie des ensembles. Fascicule de résultats)。这符号也可写作,有时候采用近似字符“Ø”,也可以使用大括号表示。

这符号源自北欧语言的拉丁字母Ø”,但常被误会为希腊字母φ”。(φ有两个写法:小写的和缩小了的大写,后者常被误用为空集符号。的中间为一长竖,中间的圈也较小,与的斜线和大圆不同。)。

提出用北欧字母为符号的,是布尔巴基小组成员安德烈·韦伊。他在自传写道:

空集符号∅的Unicode编码为U+2205,TeX代码是\emptyset\varnothing(后者是AMS符号,很多人较喜欢后者的字形)。

性质

(这里采用数学符号)。

  • 对任意集合,空集是子集
  • 对任意集合,空集和并集
  • 对任意集合,空集和交集为空集:
  • 对任意集合,空集和笛卡尔积为空集:
  • 空集的唯一子集是空集本身:
  • 空集的幂集是仅包含空集的集合:
  • 空集的元素个数(即它的)为;特别是,空集是有限的:

集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素;那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的。

考虑空集为实数线(或任意拓扑空间)的子集,空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集。另外,空集是紧致集合,因为凡有限集合都是紧致的。

空集的闭包是空集。

空集和0

根据定义,空集有0个元素,或者称其势为0。然而,这两者的关系可能更进一步:在标准的自然数的集合论定义中,0被定义为空集。

常见问题

空集不是;它是内部没有元素的集合,而集合就是。这通常是初学者的一个难点。可以将集合想象成一个装有其元素的袋子──袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质,即空集是任意集合的子集。按照子集的定义,这条性质是说每个元素x都属于。若这条性质不为,那{}中至少有一个元素不在中。由于没有元素,也就没有的元素不属于了,得到的每个元素都属于,即 的子集。

空集的运算

空集(作为集合)上的运算也可能使人迷惑。(这是一种运算。) 例如:空集元素的0,而它们的1(见空积)。这可能看上去非常奇怪,空集中没有元素,他们是怎么相加和相乘的呢? 最终,这些运算的结果更多被看成是运算的问题,而不是空集的。比如,可以注意到0是加法的单位元,而1是乘法的单位元。

公理化集合论

在诸如策梅洛-弗兰克尔集合论公理化集合论中,空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分类公理,任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如:若是集合,则分离公理允许构造集合,它就可以被定义为空集。

范畴论

A为集合,则恰好存在一个从函数,即空函数。故此,空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间,即通过定义空集为开集;这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

哲学层面

尽管空集在数学中是一个标准,并被广泛接受,仍然有人对它表示怀疑。

Jonathan Lowe认为,这一概念“无疑是数学历史上的里程碑,……;不需要假设其在计算时的有效性要基于其确实表达了某些对象”,但在另一方面,“我们所知的空集只是它 (1)是个集合,(2)没有元素,(3)在没有元素的集合中唯一。然而,有很多东西‘没有元素’,在集合论角度而言,叫做非集合。为什么它们没有元素是显而易见的,因为它们不是集合。不清楚的是,为什么在集合中,没有元素的集合是唯一的。仅仅通过约束是不可能将这么一个实体变出来的。”

"To be is to be the value of a variable…"Journal of Philosophy,1984(在书Logic, Logic and Logic中再次发表)中,小George Boolos认为许多集合论中的结论,也可以透过对个体进行复数量化英语Plural quantification来得到,所以无需把集合具体化为包含其他实体作为元素的实体。

参考资料

  1. ^ André Weil: Souvenirs d'apprentissage, Birkhäuser Verlag, Basel, 1991, p. 119. ISBN 978-3-7643-2500-8
  2. ^ Scott Pakin. The Comprehensive LaTeX Symbol List (PDF): p. 65. 2009-11-09 [2014-09-16]. (原始内容 (PDF)存档于2015-03-28).
  3. ^ E. J. Lowe. Locke. Routledge. 2005: 87.
  4. ^ *George Boolos, 1984, "To be is to be the value of a variable," The Journal of Philosophy 91: 430–49. Reprinted in his 1998 Logic, Logic and Logic (Richard Jeffrey, and Burgess, J., eds.) Harvard Univ. Press: 54–72.

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