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立方数

立方数指可以写成的数,当中必为整数。立方数是边长立方体体积。作为算术用语的“立方”,表示任何数的三次,可用³(Unicode字元179)来表示。

平方数不同,立方数可存在负数

若将立方数概念扩展到有理数,则两个立方数的比仍然是立方数,例如, (2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3) = 8/27 = 2/3×2/3×2/3。

若一个整数没有除了 1 之外的立方数为其因数,则称其为无立方数因数的数。

首十二个立方数OEISA000578为:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, ...(第零个是0

虽然形状不同,每个立方数第个立方数同时都是第六角锥数,即首中心六边形数之和。

立方数和

个正立方数之和为,即第三角形数平方

每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。(华林问题

1939年,狄克森证明只有23239需要用9个正立方数的和来表示。

亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个:15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454OEISA018889

的士数士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数,但的士数的必须为正数,士的数则无此限。(见1729

只有一组连续三个立方数之和亦是立方数,就是3, 4, 5的立方,其和等于6的立方。

十进制,除了1之外,仅有4个的正整数其数字立方之和等同它本身,它们为153, 370, 371, 407,他们是自恋数。这4个三位数,亦可视为将它的数字分成三份,每份的立方之和,相似性质的整数有无限个,如165033, 221859, 336700等(OEISA056733)。

性质

  • 除了0以外,立方数不可能是普洛尼克数
  • 除了0以外,立方数也不可能是连续若干个(至少两个)数的积。
  • 除了0,1,8以外,立方数不可能是费波那契数
  • 除了1以外,立方数也不可能是卢卡斯数
  • 除了0,1以外,立方数不可能是佩尔数
  • 除了0,1以外,立方数不可能是三角形数五角数多边形数
  • 除了1以外,立方数不可能是中心正方形数中心五边形数中心多边形数
  • 除了1,8以外,立方数也不可能是乌拉姆数列出现的数。
  • 除了1,226981(61的立方)以外,立方数不可能是星数
  • 除了1以外,立方数在杨辉三角形只出现二次。
  • 除了0000和9999以外,立方数末4四位数不可能相同
  • 立方数不可能是楔形数半质数
  • 0以外的立方数每一位数数字相加之和,不停重复地相加到剩一位数时必定是 1, 8, 9。
  • 是否在相继立方数之间存在一个素数这一命题,对1000000000000以内的数目是正确的。
  • 立方数是模任何整数的三次剩余;另外,如果某个整数是模任何整数的三次剩余,那么它一定是立方数。
  • 立方数的正因数个数一定是3的倍数加1。

涉及立方数和的问题

的整数解

  1. 方程除了有4组解以外,是否还有其它整数解?
  2. 方程有整数解
  3. 方程有整数解
  4. 方程是否有整数解?

其他

  • 立方质数的定义为,其中

参见

注释

  1. ^ 因为n与(n+1)差1,所以两数互质,故若n×(n+1)为立方数,则n与(n+1)也皆为立方数,2个立方数差1,则必为0与1,因此唯一的普洛尼克数兼立方数为0=0×1。
  2. ^ 连续若干个(刚好两个)数的积是普洛尼克数


外部链接

参考文献

  1. ^ Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019
  2. ^ Prof. Booker. Life, the Universe, and Everything. [2019-09-07].

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