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群的直和

群论
Rubik's cube.svg

数学中, G 叫做子群的集合 {Hi} 的直和,如果

  • 每个 HiG正规子群
  • 每对不同的子群都有平凡的交集,并且
  • G = <{Hi}>;换句话说,G 是子群 {Hi} 生成的。

解说

如果 G 是子群 HK 的直和,则我们写为 G = H + K;如果 G 是子群集合 {Hi} 的直和,我们经常写为 G = ∑Hi。不严格的说,直和同构于子群的弱直积

抽象代数中,这种构造方法可以推广为向量空间和其他结构的直和;详情参见条目直和

这个符号是符合交换律的;所以在两个子群的直和的情况下,G = H + K = K + H。它还是符合结合律的,在如果 G = H + K 并且 K = L + MG = H + (L + M) = H + L + M 的意义上。

可以表达为非平凡子群的直和的群被叫做“可分解”的;否则叫做“不可分解”的。

如果 G = H + K,则可以证明:

  • 对于所有 H 中的 hK 中的 k,有 h*k = k*h
  • 对于所有 G 中的 g,存在唯一的 H 中的 hK 中的 k 使得 g = h*k
  • 有直和在商群中的消除,即 (H + K)/K 同构于 H

上述断言可以推广到 G = ∑Hi 的情况,这里的 {Hi} 是子群的有限集合。

  • 如果 ij,则对于所有 Hi 中的 hiHj 中的 hj,有着 hi * hj = hj * hi
  • 对于每个 G 中的 g,有唯一的 {hiHi} 使得
g = h1*h2* ... * hi * ... * hn
  • 有直和在商群中的消除;即 ((∑Hi) + K)/K 同构于 ∑Hi

注意类似于直积,这里的每个 g 可以唯一的表达为

g = (h1,h2, ..., hi, ..., hn)。

因为 hi * hj = hj * hi 对于所有 ij,可推出在直和中的元素的乘积同构于对应的在直积中的元素的乘积;因此对于子群的有限集合,∑Hi 同构于直积 ×{Hi}。

直和的等价

直和对于群不是唯一的;例如在克莱因四元群 V4 = C2 × C2 中,我们有

V4 = <(0,1)> + <(1,0)> 和
V4 = <(1,1)> + <(1,0)>。

但是,Remak-Krull-Schmidt定理声称给定有限群 G = ∑Ai = ∑Bj,这里的每个 Ai 和每个 Bj 都是不平凡的并且不可分解的,则两直和分别涉及到的子群在重新排序后同构意义下是等价的。

Remak-Krull-Schmidt 定理对无限群无效,所以在无限 G = H + K = L + M 的情况下,即使在所有子群都是非平凡的并且不可分解的,我们不能假定 H 同构于要么 L 要么 M

推广到在无限集合上的和

如果我们希望在 G 是子群的无限(可能不可数)集合的直和的情况下描述上述性质,我们需要更加的小心。

如果 g 是群的集合的笛卡尔积 ∏{Hi} 的元素,设 gi 是在乘积中的 g 的第 i 个元素。 群的集合 {Hi} 的外直和(写为 ∑E{Hi}) 是 ∏{Hi} 的子集,这里对于每个 ∑E{Hi} 的元素 ggi 是单位元 对于除了有限个之外的所有 gi (等价的说只有有限个 gi 不是单位元)。在外直和中的群运算是逐点乘法,如在平常直积中那样。

应当容易的明白这个子集确实形成了群;对于群 Hi 的无限集合,外直和同一于直积。

那么如果 G = ∑Hi,则 G 同构于 ∑E{Hi}。因此在某种意义上,直和是“内部”外直和。我们有了对于每个 G 中的元素 g,有一个唯一有限集合 S 和唯一的 {hiHi : iS} 使得 g = ∏ {hi : iS}。


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