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自然对数函数图像
自然对数的积分定义。

自然对数(英语:Natural logarithm)为以数学常数e底数对数函数,标记作,其反函数指数函数。根据微积分学,某函数之定义域为其反函数之值域,反之其值域为其反函数之定义域。因的值域为,且其为之反函数,故可知之定义域为,即在非正实数系无法定义。

自然对数定义为:对任何正实数,由 所围成, 曲线下的面积 。如果小于1,则计算面积为负数。

则定义为唯一的实数 使得

数学表示方法

自然对数的一般表示方法为 ,数学中亦有以 表示自然对数。 若要避免与底为10的常用对数 混淆,可用“全写”

历史

十七世纪

双曲线扇形笛卡尔平面上的一个区域,由从原点到的射线,以及双曲线围成。在标准位置的双曲线扇形有,它的面积为,此时双曲线扇形对应正双曲角
当直角双曲线下的两段面积相等时,的值呈等比数列的值也呈等比数列,

约翰·纳皮尔在1614年以及约斯特·比尔吉在6年后,分别发表了独立编制的对数表,当时通过对接近1的底数的大量乘运算,来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数,当时还没出现有理数幂的概念。按后世的观点,约斯特·比尔吉的底数1.000110000相当接近自然对数的底数,而约翰·纳皮尔的底数0.999999910000000相当接近。实际上不需要做开高次方这种艰难运算,约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算,Henry Briggs英语Henry Briggs (mathematician)建议纳皮尔改用10为底数未果,他用自己的方法于1624年部分完成了常用对数表的编制。

形如的曲线都有一个代数反导数,除了特殊情况对应于双曲线的弓形面积英语Quadrature (mathematics),即双曲线扇形;其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式英语Cavalieri's quadrature formula给出,其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成(抛物线的弓形面积英语The Quadrature of the Parabola),双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。1647年Grégoire de Saint-Vincent英语Grégoire de Saint-Vincent将对数联系于双曲线的弓形面积,他发现x轴上两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形对应的扇形,在时面积相同,这指出了双曲线从的积分满足:

1649年,Alphonse Antonio de Sarasa英语Alphonse Antonio de Sarasa将双曲线下的面积解释为对数。大约1665年,伊萨克·牛顿推广了二项式定理,他将展开并逐项积分,得到了自然对数的无穷级数。“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中,他也独立发现了同样的级数,即自然对数的麦卡托级数

十八世纪

大约1730年,欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为:

1742年威廉·琼斯发表了现在的指数概念。

形式定义

欧拉定义自然对数为序列的极限

正式定义为积分

这个函数为对数是因满足对数的基本性质:

这可以通过将定义了的积分拆分为两部分,并在第二部分中进行换元来证实:

幂公式可如下推出:

第二个等式使用了换元

自然对数还有在某些情况下更有用的另一个积分表示:

性质

(参见复数对数)

导数

自然对数的图像和它在处的切线。
的泰勒多项式只在范围内有逐步精确的近似。

自然对数的导数

证明一 (微积分第一基本定理):

证明二: 按此影片

用自然对数定义的更一般的对数函数,,根据其逆函数即一般指数函数的性质,它的导数为:

根据链式法则,以为参数的自然对数的导数为

右手端的商叫做对数导数英语logarithmic derivative,通过的导数的方法计算叫做对数微分

幂级数

自然对数的导数性质导致了在0处的泰勒级数,也叫做麦卡托级数

对于所有 但不包括

代入中,可得到自身的级数。通过在麦卡托级数上使用欧拉变换,可以得到对绝对值大于1的任何有效的如下级数:

这个级数类似于贝利-波尔温-普劳夫公式

还要注意到是自身的逆函数,所以要生成特定数的自然对数,简单把代入中。

对于

自然数的倒数的总和

叫做调和级数。它与自然对数有密切联系:当趋于无穷的时候,差

收敛欧拉-马歇罗尼常数。这个关系有助于分析算法比如快速排序的性能。

积分

自然对数通过分部积分法积分:

假设:

所以:

自然对数可以简化形如的函数的积分:的一个原函数给出为。这是基于链式法则和如下事实:

换句话说,

例子

下面是的例子:

与双曲函数的关系

在直角双曲线(方程)下,双曲线三角形(黄色),和对应于双曲角双曲线扇形(红色)。这个三角形的边分别是双曲函数倍。
射线出原点交单位双曲线于点,这里的是射线、双曲线和轴围成的面积的二倍。对于双曲线上位于x轴下方的点,这个面积被认为是负值。

在18世纪,约翰·海因里希·兰伯特介入双曲函数,并计算双曲几何中双曲三角形的面积。对数函数是在直角双曲线下定义的,可构造双曲线直角三角形,底边在线上,一个顶点是原点,另一个顶点在双曲线。这里以自然对数即双曲角作为参数的函数,是自然对数的逆函数指数函数,即要形成指定双曲角,在渐近线即x或y轴上需要有的的值。显见这里的底边是,垂线是

通过旋转和缩小线性变换,得到单位双曲线下的情况,有:

单位双曲线中双曲线扇形的面积是对应直角双曲线下双曲角的

连分数

尽管自然对数没有简单的连分数,但有一些广义连分数如:

这些连分数特别是最后一个对接近1的值快速收敛。但是,更大的数的自然对数,可以轻易的用这些更小的数的自然对数的加法来计算,带有类似的快速收敛。

例如,因为2的自然对数可以计算为:

进而,因为,10的自然对数可以计算为:

复数对数

指数函数可以扩展为对任何复数得出复数值为的函数,只需要简单使用为复数的无穷级数;这个指数函数的逆函数形成复数对数,并带有正常的对数的多数性质。但是它涉及到了两个困难: 不存在使得;并且有着。因为乘法性质仍适用于复数指数函数,,对于所有复数和整数

所以对数不能定义在整个复平面上,并且它是多值函数,就是说任何复数对数都可以增加的任何整数倍而成为等价的对数。复数对数只能在切割平面上是单值函数。例如,等等;尽管不能定义为,以此类推。

主值定义

对于每个非0复数,主值是虚部位于区间内的对数。表达式不做定义,因为没有复数满足

要对给出一个公式,可以先将表达为极坐标形式,。给定,极坐标形式不是确切唯一的,因为有可能向增加的整数倍,所以为了保证唯一性而要求位于区间内;这个叫做幅角的主值,有时写为。则对数的主值可以定义为 :

例如,

常见科学用法

自然指数有应用于表达放射衰变(放射性)之类关于衰减的过程,如放射性原子数目随时间变化率,常数为原子衰变概率,积分得

注释与引用

  1. ^ 例如哈代赖特所著的《数论入门》"Introduction to the theory of numbers" (1.7, Sixth edition, Oxford 2008)的注解 "log x is, of course the 'Napierian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest."(log x 当然是以e为基,x的“纳皮尔”对数。“常用”对数在数学上毫无重要。)
  2. ^ 证明:从1到b积分1/x,增加三角形{(0, 0), (1, 0), (1, 1)},并减去三角形{(0, 0), (b, 0), (b, 1/b)}。
  3. ^ Ernest William Hobson, John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press, 1914
  4. ^ Boyer, Carl B., 14,Section "Jobst Bürgi", A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8
  5. ^ 选取接近e的底数b,对数表涉及的bx为单调增函数,定义域为0到1而值域为1到b;选取接近1/e的底数b,对数表涉及的bx为单调减函数,定义域为0到∞而值域为1到0。
  6. ^ 这个接近1的数为基础。
  7. ^ 博纳文图拉·卡瓦列里在1635年的《Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota》中给出定积分
    不定积分形式为:
    独立发现者还有:皮埃尔·德·费马Gilles de Roberval英语Gilles de Roberval埃万杰利斯塔·托里拆利
  8. ^ 设a=1,x轴上[a,b]两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形面积为f(b),[c,d]对应的扇形面积为f(d)-f(c),d=bc,即为f(bc)-f(c),当且仅当f(bc)=f(b)+f(c)时,两双曲线扇形面积相等。
  9. ^ J. J. O'Connor; E. F. Robertson, The number e, The MacTutor History of Mathematics archive, September 2001 [2009-02-02]
  10. ^ 卡瓦列里弓形面积公式,对于负数值的n(x的负数幂),由于在x = 0处有个奇点,因此定积分的下限为1,而不是0,即为:
    欧拉的自然对数定义:
  11. ^ Maor, Eli, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-14134-3,sections 1, 1.
    Eves, Howard Whitley, An introduction to the history of mathematics, The Saunders series 6th, Philadelphia: Saunders, 1992, ISBN 978-0-03-029558-4, section 9-3
    Boyer, Carl B., A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, 1991, ISBN 978-0-471-54397-8, p. 484, 489
  12. ^
    在最初的概念下,底数是接近1的数,而对数是整数;经过简单变换后,底数变大了,成为接近数学常量e的数,而对数变小了,成为 x/n。
  13. ^ Lang 1997, section IV.2
  14. ^ Wolfram, Stephen. "Calculation of d/dx(Log(b,x))". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research. (原始内容存档于2011-07-18) (英语).
  15. ^ Kline, Morris, Calculus: an intuitive and physical approach, Dover books on mathematics, New York: Dover Publications, 1998, ISBN 978-0-486-40453-0, p. 386
  16. ^ Havil, Julian, Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003, ISBN 978-0-691-09983-5, sections 11.5 and 13.8
  17. ^ Eves, Howard, Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Courier Dover Publications: 59, 2012, ISBN 9780486132204, We also owe to Lambert the first systematic development of the theory of hyperbolic functions and, indeed, our present notation for these functions.
  18. ^ Ratcliffe, John, Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics 149, Springer: 99, 2006, ISBN 9780387331973, That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
  19. ^ Sarason, Section IV.9.

参考

  • John B. Conway, Functions of one complex variable, 2nd edition, Springer, 1978.
  • Serge Lang, Complex analysis, 3rd edition, Springer-Verlag, 1993.
  • Gino Moretti, Functions of a Complex Variable, Prentice-Hall, Inc., 1964.
  • Donald Sarason, Complex function theory, 2nd edition, American Mathematical Society, 2007.
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1927.

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