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芝诺悖论

芝诺悖论古希腊哲学家(Philosopher/Philosophen/философ/φιλόσοφος) 芝诺(Zeno of Elea)(盛年约在公元前464-前461年)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是:“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分(无限)的概念解释。

两分法悖论

这里的“运动”不是距离的概念,而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离,并且涉及到时间。

阿基里斯悖论

常见的叙述为芝诺提出的追着乌龟阿基里斯,本悖论因此得其名。芝诺提出让乌龟和阿基里斯赛跑,两者起点不同,乌龟的起点位于阿基里斯身前1000米处,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,设所用的时间为t,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,他所用的时间为t/10,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,他所用的时间为t/100,乌龟仍然领先他1米。芝诺认为,阿基里斯永远无法追上乌龟。

如柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑。首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999...,1-0.999...>0”思想。然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999...,但1-0.999...>0”思想。最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0,或1-0.999...>0”思想。

悖论的解决

理论说得头头是道,但为何实际却不是如此?原因见下。

不妨令阿基里斯步行的速度为每秒10m,乌龟爬行的速度为每秒0.1m, 并且在比赛之前,阿基里斯让乌龟先爬999m,在这种条件下,阿基里斯追赶乌龟所用的时间为:

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

这些数字,按其先后排列,可以构成一个无限序列:

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
 
 求其和:S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

所以其实阿基里斯只要跑101秒,即可超越乌龟。
换个角度说,阿基里斯之所以追不上乌龟,原因在题目的背面--小前提“由于追赶者首先应该达到被追者出发之点,此时被追者已经往前走了一段距离。”已经限制了阿基里斯追赶的时间(距离)。
因此会得到无限的时间序列。

求极限值

追乌龟亦涉及到极限是否存在的问题。譬如说,阿基里斯的速度改为10m/s,乌龟的速度是1m/s,乌龟原先在阿基里斯前面9m。进行上述步骤后,总共所花的时间应表示为

其一,关于极限这个无限过程的意义,涉及到实无限英语Actual infinity与潜无限(potential infinity)的讨论。潜无限的性质是无限过程无法完成,故上述级数虽然能无限逼近1,但不能说是等于1──故没有一个时间点(若有,必须是1)能代表乌龟被追上的时间。在潜无限的框架下,可以假设空间无法无限分割,如此一来此悖论就不存在了。但实无限的理论是,无限过程可以完成,即逼近的过程与其极限等价,故阿基里斯可以追上乌龟。现在的实数,极限,微积分都建立在实无限上。对潜无限来说,实数,极限等都不成立,只能无限逼近。

其二,关于要如何找到该无限过程的极限,欧拉曾提出“”之证明如下:

两式相减可得:

欧拉一生中曾多次在其理论中进行这类极限的运算,然而他未能解释极限的存在性与加减乘除等运算,可谓有着逻辑上的漏洞。而近代数学的极限、实数等概念正能填其逻辑漏洞。

飞矢不动悖论

但由于箭要达到每一时刻的固定位置必须存在动能,所以箭必须是运动状态。

这个悖论的问题在于,“飞行”的运动,是依赖于两个时间点的。即从这一刻到那一刻的时间内,这支箭是否移动。

另外,中国古代的名家惠施也提出过,“飞鸟之景,未尝动也”的类似说法。

游行队伍悖论

首先假设在操场上,在一瞬间(一个最小时间单位)里,相对于观众席A,列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

 AAAA 观众席A
 BBBB 队列B・・・向右移动(→)
 CCCC 队列C・・・向左移动(←)

B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

 AAAA
  BBBB
CCCC

而此时,对B而言C移动了两个距离单位。也就是,队列既可以在一瞬间(一个最小时间单位)里移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

(四个悖论的叙述引自莫里斯·克莱因《古今数学思想》中译本,Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。)

芝诺现象

在一个跟时间有关的系统中,如果牵涉到有限时间内,无限多次的操作,我们会称之芝诺现象或芝诺行为。一个简单的例子是球在地面上反弹到停止的过程。处理这个问题的方法,是直接假设停止的时间点,只考虑反弹,不去考虑无穷多次,以计算无穷多次反弹之后的结果。

相关条目

参考文献

  1. ^ Zenon von Elea. www.finden.ovh. [2018-03-30]. (原始内容存档于2018-03-30).
  2. ^ Ζήνων ο Ελεάτης. greek_greek.enacademic.com. [2018-03-30]. (原始内容存档于2019-11-28).
  3. ^ Апории Зенона Элейского. rushist.com ,Русская историческая библиотека. [2018-03-30]. (原始内容存档于2020-12-03).
  4. ^ Ζήνων ο Ελεάτης. Lexicon: post Ludolphum Kusterum ad codices manuscriptos. K - Psi,Suda - 1834. [2018-03-30]. (原始内容存档于2019-11-28).
  5. ^ 阿基里斯追乌龟.

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