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虚数是指实数以外的复数,其中实部为0的虚数称为纯虚数。而英文imaginary number的另一种定义是可以写作实数虚数单位乘积的数,以此定义,0可视为同时是实数也是虚数。

17世纪著名数学家笛卡尔所著《几何学》(法语:La Géométrie)一书中,命名其为nombre imaginaire(虚构的数),成为了虚数imaginary number)一词的由来。

后来在欧拉高斯的研究之后,发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面,复数平面上每一点对应着一个复数

复数平面的图示。虚数位于垂直座标轴之上。

几何诠释

复数平面上乘以虚数单位表示旋转九十度

在几何学上,复数平面的垂直轴表示虚数,它们与代表实数的水平轴垂直。查看虚数的方法之一是参考标准数线:往右侧正幅度增长,往左侧则负幅度减少。在x轴的0点处,往上升方向可绘制y轴的“正”虚数,然后向上增加;而“负”虚数则往下增加。这个垂直轴通常被称为“虚数轴”,并被表示为,或

在该呈现图示中,乘以–1对应于以原点为中心180度的旋转。的乘法对应于“逆时针”方向的90度旋转,而方程式可被解释为,如果我们对原点应用两个90度旋转,则终了结果是单一个180度旋转。注意,“顺时针”方向的90度旋转也满足这种解释。这反映了也解出了方程。一般来说,乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同,然后按其大小进行缩放。

负数的平方根

我们应该将根号视为求的解,故将一个数开根号后会有两个合理的值,此二值互相差一个负号。在将正数开根号时,这两个值一为正数一为负数,故习惯上直接将根号对应到正值,而负值的解以根号前加负号来表示。但对其它的数而言开根号没有自然的对应,实际上代表的是两个数,分别为。但若直接将对应到,而对应到也未尝不可。

性质

1. 不同的虚数都是不能比较大小的:成立,但却均不成立。

举例说明:(反证法)

假设

平方得

即可看出矛盾。

再举例:假设

平方得(不等式两侧同乘假设为负的,不等式由小于变为大于)

即可看出矛盾。

因此虚数或者说虚部不为0的复数不能比较大小。

2. 因为,很容易知道)是关于指数周期函数,最小正周期。于是,我们有

这表示方程的一个根,另三个根分别为

另外可以证明

为下列方程的根

其中,称为共轭虚数(或共轭复数)。

3. 如果再将虚数的这个概念扩展开去,就可以组成四元数(Quaternion)、八元数(Octonion)等特殊数学范畴。

参见

外部链接


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