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虚数单位

虚数单位复平面的位置。横轴是实数,竖轴是虚数。
各种各样的
基本

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延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

数学物理工程学里,虚数单位标记为,在电机工程和相关领域中则标记为,这是为了避免与电流(记为)混淆。虚数单位的发明使实数系统能够延伸至复数系统。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程无实数解。例如方程就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数,那么这方程以及所有的多项式方程都有解。

定义

虚数单位定义为二次方程的两个根中的一个。这方程又可等价表达为:

由于实数的平方绝不可能是负数,我们假设有这么一个数目解答,给它设定一个符号。很重要的一点是,是一个良定义的数学构造。

另外,虚数单位同样可以表示为:

然而往往被误认为是错的,他们的证明的方法是:

因为,但是-1不等于1。
但请注意:成立的条件有,不能为负数。

实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时,我们只需要假设是一个未知数,然后依照的定义,替代任何的出现为-1。的更高整数幂数也可以替代为,或,根据下述方程:

一般地,有以下的公式:

其中表示被4除的余数

方程有两个不同的解,它们都是有效的,且互为共轭虚数倒数。更加确切地,一旦固定了方程的一个解,那么(不等于)也是一个解,由于这个方程是的唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是之间没有质量上的区别(-1和+1就不是这样的)。如果所有的数学书和出版物都把虚数或复数中的换成,而把换成,那么所有的事实和定理都依然是正确的。

正当的使用

虚数单位有时记为。但是,使用这种记法时需要非常谨慎,这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如,公式仅对于非负的实数才成立。

假若这个关系在虚数仍成立,则会出现以下情况:

(不正确)
(不正确)
(不正确)

i的运算

虚数单位的平方根在复平面的位置。

许多实数的运算都可以推广到,例如平方根对数三角函数。以下运算除第一项外,均为与有关的多值函数,在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

这是因为:
使用算术平方根符号表示:
其解法为先假设两实数,使得,求解
  • 一个数的次幂为:
一个数的次方根为:
利用欧拉公式
代入不同的值,可计算出无限多的解。当最小的解是0.20787957635076...
  • 为底的对数为:

在编程语言

注解

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?页面存档备份,存于互联网档案馆) URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

参见

外部链接


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