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负数

负数,在数学上指小于0实数,如−2、−3.2和−807.5,与正数相对。负数本身是一个不可数无限集合。这个集合数学上通常用粗体R来表示。负数与0统称非正数。

各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

负数的历史

负整数可以被认为是自然数的扩展,使得等式对任意都有意义。相对而言,其他数的集合都是从自然数通过逐步扩展得到的。

负数在表示小于 0 的值的时候非常有用。例如,在会计学上,它可以被用来表示负债,而且通常以红色表示(若不带负数符号则加上括号),所以又称“赤字”。

自从汉代,中国数学家就已经了解负数和零的概念了。 公元1世纪的《九章算术》说“正负术曰:同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之。其异名相除,同名相益,正无入正之,负无入负之。”(这段话的大意是“减法:遇到同符号数字应相减其数值,遇到异符号数字应相加其数值,零减正数的差是负数,零减负数的差是正数。”)以上文字里的“无入”通常被数学历史家认为是零的概念。(全文见维基文库的《九章算术页面存档备份,存于互联网档案馆)》)

尽管中国古人首先发现并应用了负数,但却并没有从理性方面讨论负数存在的意义和本质,这可能是文化习惯导致的。对负数精确的定义,和其根本属性的讨论,是由近代西方数学家首先完成的。

西方最早在数学上使用负数的文献纪录,是由古印度数学家婆罗摩笈多于公元628年完成的《婆罗摩历算书英语Brāhmasphuṭasiddhānta》。它的出现是为了表示负资产或债务。在很大程度上,欧洲数学家直到17世纪[来源请求]才接受负数的概念。

符号函数

在实数上可以定义这样一个函数,它对正数取值为 1,负数取值为 −1,0 取值为 0。这个函数通常被称为符号函数

不为 0 时,则有:

这里,绝对值单位阶跃函数。请参见导数

负数的四则运算

负数四则运算口诀
口诀 释义
加法 减法 乘法 除法
被乘数 乘数 被除数 除数
a + (+b) = a + b
a + (b) = a b
a (+b) = a b
a (b) = a + b
负数四则运算口诀简单版
两个符号一样 两个符号不同
得正 得负

加法

上一个负数相当于去其相反数

减法

一个较大的正数减去一个较小的正数将得到一个正数

一个较小的正数减去一个较大的正数将得到一个负数:

任意负数减去一个正数总得到一个负数:

减去一个负数相当于加上相应的正数:

乘法

一个负数和一个正数相得到一个负数:。这里,乘法可以被看作是多次加法的重复:

两个负数相乘得到一个正数:。这里,乘法不能再被看作是多次加法的重复了,而是为了使乘法满足分配律

等式的左边为。等式的右边为。为了使两边相等,必须要

除法

除法和乘法类似。若被除数除数有不同的符号,结果是一个负数:

若被除数和除数有相同的符号(就算他们均为负),结果是一个正数:

参见

参考资料及注释

  1. ^ Wáng, Qīngxiáng, Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods), Tokyo: Tōyō Shoten, 1999, ISBN 4-88595-226-3
  2. ^ HPM通訊第二期. [2018-04-19]. (原始内容存档于2020-01-29).

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