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超现实数本文重定向自 超現實數

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其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

数学上,超现实数系统(英语:Surreal Numbers)是一种连续统,其中含有实数以及无穷量,即无穷大()量,其绝对值大(小)于任何正实数。超现实数与实数有许多共同性质,包括其全序关系“≤”以及通常的算术运算(加减乘除);也因此,它们构成了有序域。在严格的集合论意义下,超现实数是可能出现的有序域中最大的;其他的有序域,如有理数域实数域有理函数域列维-奇维塔域英语Levi-Civita field上超实数域英语Superreal number超实数域等,全都是超现实数域的子域。超现实数域也包含可达到的、在集合论里构造过的所有超限序数

超现实数树的可视化。

超现实数是由约翰·何顿·康威(John Horton Conway)所定义和构造的。这个名称早在1974年便已由高德纳(Donald Knuth)在他的书《研究之美》中就被引进了。《研究之美》是一部中短篇数学小说,而值得一提的是,这种把新的数学概念在一部小说中提出来的情形是非常少有的。在这部由对话体写成的著作里,高德纳造了“surreal number”一词,用来指称康威起初只叫做“number”(数)的这个新概念。康威乐于采用新的名称,后来在他1976年的著作《论数字与博弈》(On Numbers and Games)中就描述了超现实数的概念并使用它来进行了一些博弈分析。

概述

康威使用递归构造了超现实数,其中每个数都是两个数集构成的序对,记为 。这两个集合要求 里的每个元素都严格小于每个 里的元素。不同的序对可能表达同样的数字:

整数及二进分数

让我们先来看几个简单的例子。

因此整数都是超现实数。(以上几行是定义而非等式。)

至此我们可以通过超现实数定义二进分数(分母为2的幂次的分数)。

其他实数

为了定义更多的实数,我们可以将使用无限的左右集合:,事实上可以同样地使用二进制展开的方法定义出所有实数。

无穷数

根据归纳法,我们可以构造出 等无穷大的数, 等无穷小数。以上超现实数皆不属于实数。

更多的数

我们定义

,那么 ,这在直观上等阶于“是在第天中出生的”。

那么我们可以观察发现:

  • ,其中

我们将超现实数集合称作

序关系

给定 ,我们(递归地)定义 当且仅当以下两命题同时成立:

  • 没有一个 符合
  • 没有一个 符合

那么可以自然地定义 。可以证明,这样的二元关系是一个全序关系

我们分别将 称为 负、 正、 非正、 非负。

我们定义 表示 同时不成立。事实上这样的二元关系在超现实数中不可能存在,但是这个关系会在之后的博弈章节出现。

运算

加法

我们定义超现实数之间的加法,其中

加法逆元

我们定义负号(加法逆元)为 ,其中

可以验证这两个运算构成了(真类上的)阿贝尔群

乘法

我们定义乘法运算为,其中

乘法逆元

我们定义(正数的)乘法逆元,这样除法就是 。我们可以发现这个定义是递归的,但是实际上这个数字是良定义的:我们取 那么 会有一个 作为左项,导致了 会是一个右项。这又意味着 作为左项、 作为右项,以此类推,所以我们有 (考虑两边的序列在实数中分别收敛到 ,因此是相容的)。

对于负数,我们定义

子集对应

有理数实数序数分别是超现实数的子集。

有理数

所有二进分数都可以定义为超现实数,而所有分数都可以表示为两个整数之比,因此所有有理数都可以表示为超现实数。

实数

在定义出了有理数之后,使用戴德金分割可以立刻将实数映射到超现实数中。

假设,其中 ,那么立刻可知存在 的一个超现实数表示,其中 是有理数到超现实数的域同态。

序数

我们将所有序数定义为小于它的序数构成的集合。所有序数的全体记为,那么我们有:

这样的同态可以保持序关系的结构,但是并不能保证算术的一一对应,比如 这一式子的值在序数中的结果是 ,而在超现实数中则是 .

博弈

如果去除超现实数定义中对所有 的约定,那么这样(递归)定义出来的真类被称做游戏。对其仍然可以(一模一样的)定义加法、加法逆元以及比较。

显然,所有的超现实数都是游戏,但并非所有游戏都是超现实数,例如 就不是,其满足

可以发现,所有的游戏都体现了一个两人轮流、确定、公开的博弈游戏,其中左集合表示第一位玩家(下称左玩家)可以走到的局面,右集合则表示第二位玩家(下称右玩家)的选择,不能操作者负。

两个游戏的和的意义就是同时进行两个游戏,而每个玩家选择其中一个进行操作,不能操作者负。

我们可以发现,这个游戏的胜负取决于 的相对关系。

  • ,则后手必胜。
  • ,则左玩家必胜。
  • ,则右玩家必胜。
  • ,则先手必胜(英语:fuzzy game)。

有以下这些特殊的游戏:

可以发现,关于他们有这么几个性质:

  • (比所有超现实数更接近0)

可以用于分析复杂的游戏。

暂译术语

  • 超现实数(Surreal)
  • 无穷量(Infinitesimal)
  • 格罗滕迪克宇集

注释

  1. ^ 但当初在使用冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论来建立超现实数理论时,全体超现实数并不构成集合,而只构成真类,因此使用“”(field)此一术语看来不甚精确;在严格区分集合和真类显然重要时,有些作者会使用首字母大写的“Field”或全大写的“FIELD”来指称那些其实是真类,但又具有域的算术性质的对象。暂时可称作“琙”(音同域)或“真类域”。如想得到一个真正的、作为集合的域,可以把构造限制在格罗滕迪克宇集中,这样的话就得到一个集合,其基数为一种强不可达基数;又或者使用另一种形式的集合论,在其中,任何超限递归构造总要在可数序数(比如 ,即艾普塞朗数)处停下。
  2. ^ Surreal number正式中文译名尚未出现,但英语Surreal英语Surreal一词与Surrealism联系起来的话,在中文里后者译为“超现实主义”,因此“超现实数”便作为surreal number的可能译名。

来源

  1. ^ 《研究之美》(Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness)
  2. ^ 现在本书的中文译文已经在大陆出版,见存档副本. [2012-05-10]. (原始内容存档于2012-03-16).
  3. ^ Conway, John H. On Numbers and Games 2. CRC Press. 2000-12-11 [1976]. ISBN 9781568811277. (原始内容存档于2018-03-27) (英语).
  4. ^ W., Weisstein, Eric. Ordinal Number. mathworld.wolfram.com. [2018-03-27]. (原始内容存档于2017-11-10) (英语).
  5. ^ E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays I. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091101-9.
    E. Berlekamp; J. H. Conway; R. Guy. Winning Ways for your Mathematical Plays II. Academic Press. 1982. ISBN 0-12-091102-7.
  6. ^ W., Weisstein, Eric. Surreal Number. mathworld.wolfram.com. [2018-03-27]. (原始内容存档于2017-08-14) (英语).

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