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超越数

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圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

数论中,超越数(transcendental number)是指任何一个不是代数数的无理数。只要它不是任何一个有理系数代数方程,它即是超越数。最著名的超越数是e以及π

几乎所有实数复数都是超越数,这是因为代数数的集合是可数集,而实数和复数的集合是不可数集之故。

定义

超越数是代数数的相反,也即是说若是一个超越数,那么对于任何整数都符合:

(其中

例子

超越数的例子包括:

  • 钱珀瑙恩数
  • 刘维尔数
    它是第一个确认为超越数的数,是于1844年刘维尔发现的。
  • (参见:e)。
  • ,其中是除0以外的代数数。
  • (参见:圆周率
    林德曼-魏尔斯特拉斯定理,1882年,注:因是超越数而证明尺规作图中的“化圆为方”的不可实现性。
  • (参见:e的π次方
  • (参见:2的√2次方)。
    更一般地,若以外的任何代数数无理代数数必为超越数。这就是格尔丰德-施奈德定理
  • (参见:正弦
  • (参见:自然对数),其中为一不等于1的有理数
  • (参见:朗伯W函数),其中为一有理数
  • (参见伽玛函数)。

所有超越数构成的集是一个不可数集,也就是说,几乎所有的实数和复数都是超越数;尽管如此,现今发现的超越数极少,甚至连是不是超越数也不知道,因为要证明一个数是超越数或代数数是十分困难的。

超越数的证明,给数学带来了大的变革,解决了几千年来数学上的难题——尺规作图三大问题,即倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。随着超越数的发现,这三大问题被证明为不可能。

可能的超越数

以下数仍待证明为超越数或代数数:

  • e的大多数和、积、幂等等,例如, , , , , , , , 尚未得知是有理数、代数无理数或超越数。值得注意的例外是, (对于所有正整数 )已被证明是超越数
  • 欧拉-马歇罗尼常数(尚未被证明是无理数)
  • 卡塔兰常数,同样未被证明是无理数
  • 阿培里常数 (已由阿培里英语Roger Apéry证明是无理数)
  • 黎曼ζ函数在其他奇整数的取值,(尚未被证明是无理数)
  • 费根鲍姆常数
  • 米尔斯常数

猜想:

简要地证明是超越数

第一个对自然对数底 e是超越数的证明可以追溯到1873年。我们现在跟随的是大卫·希尔伯特的策略。他给出了夏尔·埃尔米特的原始证明的简化。思路如下所示:

为寻找矛盾,假设是代数数。那就存在一个有限的整系数集满足下列等式:

现在对于一个正整数,我们定义如下的多项式:

并在上述等式的两端乘上

于是我们得到等式:

该等式可以写成这种形式

其中

引理 1. 对于恰当选择的的 是非零整数。

证明: P 的每一项都是整数乘以阶乘的和,这可以从以下的关系式得出

对于任何正整数 j 成立(考虑Γ函数)。

它是非零的,因为对于每一个满足 0< ana

中的被积函数均为 e−x 乘以一些项的和,在积分中用 x - a 替换 x 后, x 的最低幂次是 k+1 。然后这就变成了具有以下形式的积分的和

其中 k+1 ≤ j ,而且它是一个能被 (k+1)! 整除的整数。在除以 k! 后,我们得到模 (k+1) 得 0 的数。不过,我们可以写成:

于是

通过选择 k ,使得 k+1 是大于 n 与 |c0| 的质数,我们可以得出 模 (k+1) 为非零,从而该数为非零整数。

引理 2. 对于充分大的 k

证明: 注意到

使用 区间 [0,n] 的上限 G 和 H ,我们可以推出

从而

于是有

这点足以完成对引理的证明。

注意可以选择满足两个引理的,从而我们能得出矛盾。进而得以证明的超越性。

马勒的分类

库尔特·马勒英语Kurt Mahler在1932年把超越数分为3类,分别叫做S数T数U数。这些类别的定义利用了刘维尔数思想的扩充。

实数的无理性度量

一种定义刘维尔数的方式是考虑对于给定的实数,可以使得一次多项式尽可能小但不精确地等于 0 。这里的 , 是满足, 以正整数为界的整数。

为这些多项式所取的最小非零绝对值,并且令:

常称为实数无理性度量measure of irrationality)。对于有理数,而且对无理数其值至少为1 。刘维尔数可以定义为具有无穷大的无理性度量的数。Thue–Siegel–Roth定理英语Thue–Siegel–Roth theorem表明了实代数无理数的无理性度量均为 1 。

复数的超越性度量

接下来考虑多项式对于复数的取值,这些多项式系数为整数,次数至多为,而且英语Height of a polynomial至多为,此处的, 是正整数。

为以为变量的上述多项式所取的最小非零值,并且令:

假如对于尽可能小的正整数为无穷大,则这种情况下复数称为次的U数

现在我们可以定义

常称为超越性度量measure of transcendence)。假如有界,则有限,称为S数。如果有限而无界,则称为T数为代数数当且仅当

显然刘维尔数是U数的子集。威廉·勒维克英语William J. LeVeque在1953年构造了任意次数的U数。刘维尔数是不可数集,从而U数也是。它们的测度为 0 。

T数组成的集合测度亦为 0 。人们花了 35 年时间证明它们存在。沃尔夫冈·M·施密特英语Wolfgang M. Schmidt在 1968 年证明了T数的样例存在。由是可知几乎所有复数都是S数。马勒证明了当为任意非零代数数时均为S数:这点揭示了是S数且给出了的超越性证明。对于我们至多知道它不是U数。其他更多的超越数仍未归类。

两个数, 称为代数相关,当存在 2 个变量的整系数非零多项式满足。一个有力的定理指出,属于相同马勒分类的 2 个复数是代数相关的。这允许我们构造新形式的超越数,例如刘维尔数与的和。

通常推测 S 代表马勒的老师卡尔·西格尔(Carl Ludwig Siegel),而 T 和 U 是接下来的两个字母。

Koksma 的等价分类

Jurjen Koksma英语Jurjen Koksma 在 1939 年提出了基于代数数逼近的另一种分类。

考虑用次数且高的代数数逼近复数。令为该有限集中满足取最小正值得代数数。定义如下:

若对于最小的正整数为无穷大,则称次的U*数

有界且不收敛到 0 ,则则称S*数

一个数被称为 A*数 ,当收敛到 0 。

若所有的均为有限但无界,则称 xT*数

Koksma和马勒的分类是等价的,因为它们将超越数以同样的方式分类。A*数就是代数数。

勒维克的构造

可以证明(刘维尔数)的次方根是次的U数。

此构造可以改进以建立次U数的不可数个系列。令为上述的级数中 10 的幂次的集合。所有子集的集合是不可数的。在表示的级数中删去任意一个的子集,将产生不可数个显然的刘维尔数,它们每一个的次方根都是次数为的U数。

类型

数列的上界称为类型type)。几乎所有实数都是类型为 1 的S数,此类型数在实S数中是最小的。几乎所有复数都是类型为 1/2 的S数,此类型数在复S数中同样是最小的。以上判断对于几乎所有数成立的猜想由马勒提出,于 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 证明。

参见


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