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辛群

李群
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群论
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数学中,辛群可以指涉两类不同但关系密切的。在本条目中,我们分别称之为Sp(2n,F)与Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以资区别。许多作者偏好不同的记法,通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

Sp(2n, F)

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群,记为Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一,此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言,辛群可定义为F上一个2n维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为Sp(V)。

当n=1,有Sp(2,F)=SL(2,F),当n>1时,Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常将域F取为实数域、复数域或非阿基米德局部域,如p进数。此时辛群Sp(2n,F)是维度等于的连通代数群单连通的,而基本群则同构于

的李代数可以刻划为满足下列条件的2n阶方阵

其中表示转置矩阵,而是下述反对称矩阵

Sp(n)

紧辛群 定义为 四元数)上保持标准埃尔米特形式

之可逆线性变换。换言之, 即四元数上的酉群。有时此群也被称为超酉群。 即单位四元数构成之群,拓扑上同胚于三维球

并不同构于之前定义的 。下节将解释其间的联系。

维之紧致、连通、单连通李群,并满足

李代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

其中 共轭转置(在此取四元数之共轭运算)。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群 有时称为酉辛群,记为

辛群之间的关系

以上定义之之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作。此李代数也就是复李群之李代数,记作。它有两个不同的实形式:

  1. 紧致形式,即之李代数。
  2. 正规形式,即
辛群之间的关系
  矩阵 李群 dim/R dim/C 紧致 π1
Sp(2n, R) R n(2n + 1) Z
Sp(2n, C) C 2n(2n + 1) n(2n + 1) 1
Sp(n) H n(2n + 1) 1

参见


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