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逆矩阵

线性代数

向量 向量空间 行列式 矩阵

逆矩阵(inverse matrix),又称乘法反方阵反矩阵。在线性代数中,给定一个n方阵,若存在一n 阶方阵,使得,其中n单位矩阵,则称可逆的,且逆矩阵,记作

只有方阵(n×n 的矩阵)才可能有逆矩阵。若方阵的逆矩阵存在,则称非奇异方阵或可逆方阵。

行列式类似,逆矩阵一般用于求解联立方程组。

求法

伴随矩阵法

如果矩阵可逆,则其中伴随矩阵行列式

注意:中元素的排列特点是的第元素是的第元素的代数余子式。要求得即为求解余因子矩阵转置矩阵

初等变换法

如果矩阵互逆,则。由条件以及矩阵乘法的定义可知,矩阵都是方阵。再由条件以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知,这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说,这两个矩阵的秩等于它们的级数(或称为阶,也就是说,A与B都是方阵,且rank(A) = rank(B) = n.换而言之, 均为满矩阵)。换句话说,这两个矩阵可以只经由初等行变换,或者只经由初等列变换,变为单位矩阵。

因为对矩阵施以初等行变换(初等列变换)就相当于在的左边(右边)乘以相应的初等矩阵,所以我们可以同时对施以相同的初等行变换(初等列变换)。这样,当矩阵被变为时,就被变为的逆阵

性质

  1. 为A的转置
  2. (det为行列式

广义逆阵

广义逆阵(Generalized inverse)又称伪逆,是对逆阵的推广。一般所说的伪逆是指摩尔-彭若斯广义逆,它是由E. H. Moore和Roger Penrose分别独立提出的。伪逆在求解线性最小二乘问题中有重要应用。

参见


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