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闭图像定理数学泛函分析的一条定理。

叙述

巴拿赫空间线性算子。定义图像的子空间

赋予范数,使得成为巴拿赫空间。那么,这定理指连续的(与有界等价)当且仅当内是闭集。

证明

闭图像定理可以从开映射定理推导出来。

是闭集的充分必要条件是如果序列(即对任意),而,那么。如果是连续的,从连续性立刻可知是闭集,因为连续性是更强的条件:如果,则

如果是闭集,可以在定义线性算子

显然,因此是有界算子。

是巴拿赫空间中的闭子空间,所以是巴拿赫空间。也是巴拿赫空间,双射,从而由开映射定理的系可知,其逆为有界算子。

因为,故也是有界的。

推论

从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。

泛函分析中的定理

阿尔泽拉-阿斯科利定理贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理一致有界性原理闭图像定理哈恩-巴拿赫定理拉克斯-米尔格拉姆定理


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