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阿列夫数

各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

集合论中,阿列夫数艾礼富数是一连串超穷基数。其标记符号为 ℵ (由希伯来字母א‎(aleph)演变而来)加角标表示。

可数集(包括自然数)的势标记为,下一个较大的,再下一个是,以此类推。一直继续下来,便可以对任一序数 α 定义一个基数

这一概念来自于康托尔,他定义了势,并认识到无穷集合是可以有不同的势的。

阿列夫数与一般在代数与微积分中出现的无限 () 不同。阿列夫数用来衡量集合的大小,而无限只是在极限的写法中出现,或是定义成扩展的实轴上的端点。某些阿列夫数会大于另一些阿列夫数,而无限只是无限而已。

构造性定义

阿列夫数的直观定义并没有解释什么叫“下一个较大的势”,也没有证明是否存在“下一个较大的势”。即便承认对任意的基数都存在更大的基数,是否存在“下一个较大的势”使得这个基数和“下一个较大的基数”之间不再有其他的基数仍然是个问题。下面的构造型定义解决这个问题::28

  • 0定义从前,它是一个良序集的序数;
  • 考虑良序集:25按照某种同构关系划出的等价类:18
    • 如上定义的等价类有一个特点:可比较:25
  • 设ℵa已定义且是一良序集的基数,考虑:
    1. 由于ℵa是某良序集的基数,这个良序集必存在于某个等价类中;一定还有其他基数为ℵa的良序集,这些良序集必将也存在于某个等价类中(可能与上面的同属同一个等价类,但不一定)。所有这些等价类将做成一集,记为Z(ℵa)。
    2. Z(ℵa)也是良序集。:27
    3. 定义ℵa+1:= card(Z(ℵa)),它是一个良序集的基数。

阿列夫1

是所有可数序数集合的,称为 ω1或有时为Ω。这个ω1本身是一个比所有可数序数更大的序数,因此它为一个不可数集

数“阿列夫”

在中国大陆,实数集的基数常被记为c ℵ,即 ℵ := ℶ₁,这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁.阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析微积分)时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数,事实上他们遇到的是 “”或“c”,即角标为1的 ℶ 。除非讨论集合论,否则阿列夫数将是最不常用的基数之一。

另见

注释

  1. ^ 即……
  2. ^ 如果把这样定义的等价类看成该集合莫须有的“末元素”的话,就把它叫做序数
  3. ^ 基于前面所说的此类等价类的一些性质,这些等价类(或序数)……

外部链接


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