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阿基米德中点定理

在此图中AD=DC+BC

阿基米德中点定理说明:上有两点A,B,M为弧AB的中点,随意选圆上的一点C,D为AC上的点使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧,则AD=DC-CB;若M、C在弦AB同侧,则AD=DC+BC。

证明

若为同侧:在线段上取点,使得,由于,有

。又因为M为弧中点,

同时由圆周角定理知:
所以
所以
所以
所以 ,命题得证。

若为异侧:在线段AD延长线上取点X,使DX=AD.因为M为弧AB中点,所以角ACM=角BCM.又因为四边形AMBC为圆内接四边形,所以,延长CB至P,则角MBP=角MAC.但是AD=DX,角ADM为直角,所以

又 CM = CM, 所以

承上所述,所以 CX = CB。所以 AD = DC - CX = DC - CB。

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