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阿廷环

阿廷环抽象代数中一类满足降链条件,以其开创者埃米尔·阿廷命名。

定义

一个环称作阿廷环,当且仅当对每个由理想构成的降链,必存在,使得对所有的都有(换言之,此降链将会固定)。

将上述定义中的理想代换为左理想或右理想,可以类似地定义左阿廷环与右阿廷环,A是左(右)阿廷环当且仅当A在自己的左(右)乘法下形成一个左(右)阿廷模;对于交换环则无须分别左右。

例子

  • 为一个,若环是布于上的有限维代数,则是阿廷环。

基本性质

若一个环是交换阿廷环,则满足下列性质:

  • 诺特环
  • 每个素理想皆是极大理想
  • 仅有有限个素理想。
  • 对每个素理想的局部化诱导出同构

代数几何的观点,阿廷环的在拓朴上只是有限多个点,但其结构层可能带有幂零的元素,这就使得局部阿廷环成为描述无穷小变化量的代数语言。

参见条目

文献

  • Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X

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