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除法

将20个苹果平均分成四等分(左上),每份有5个苹果(右下),即;亦可以说成,将20个苹果每5个分成一份(右下),共可分成四等分(左上),此时可以表达为

数学中,尤其是在基本计算里,除法可以看成是“乘法的反运算”,也可以理解为“重复的减法”。除法运算的本质就是“把参与运算的除数变为,得出同比的被除数的值”。

例如:,就好像减了两次后,就变成了

如果

而且不等于,那么

其中,a称为商数,b称为除数,c称为被除数

如果除式的商数()必须是整数,则称为带余除法相差的数值,称为余数)。

这也意味着

高等数学(包括在科学工程学中)和计算机编程语言中,写成。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用,这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数,寻找余数的函数则为

在大部分的非英语语言中,代表,读做c比b;则代表比值。用法请参照比例

整除

整除数学中两个自然数之间的一种关系。自然数可以被自然数整除,是指约数,且a是b的整数倍数,也就是除以没有余数

约数判别法可参照整除规则

表示法

表示整除,即的倍数,因数

举例

可以被整除,记作

不能被整除(因为余数为),记作。在上加一条斜线即表示不整除。

除法计算

根据乘法表,两个整数可以用长除法(直式除法)笔算。如果被除数有分数部分(或者说时小数点),计算时将小数点带下来就可以;如果除数有小数点,将除数与被除数的小数点同时移位,直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法

长除法俗称“长除”,适用于正式除法、小数除法、多项式除法(即因式分解)等较重视计算过程和商数的除法,过程中兼用了乘法减法

使用长除法计算的过程可以表示为:

的演算过程

短除法

短除法是长除法的简化版本。在短除法里,被除数放中央,旁以一L型符号表示除法,被除数左侧为除数,下侧为商,省去了长除法逐层计算的过程。

  • 使用短除法计算的近似值:

多项式的除法

整数之间的带余除法类似,一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明,设有多项式和非零多项式,则存在唯一的多项式,满足:

而多项式若非零多项式,则其幂次严格小于的幂次。

作为特例,如果要计算某个多项式除以一次多项式得到的余多项式,可以直接将代入到多项式中。除以的余多项式是

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如,计算除以,列式如下:

因此,商式是,余式是

重要性质

通常不定义除以零这种形式。亦即当除以0 或分数的分母为0 时,该式或该数无意义

参见


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