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隐函数

数学中,隐式方程implicit equation)是形同关系,其中多元函数。比如单位圆的隐式方程是

隐函数implicit function)是由隐式方程所隐含定义的函数,比如是由确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数,也就是通常所说的函数,如

隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会确定出隐函数。

例子

反函数

隐函数的一个常见类型是反函数。若是一个函数,那么的反函数记作, 是给出下面方程解的函数

x表示y。这个解是

直观地,通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法,反函数给出该方程对于的解

例子

  1. 对数函数 给出方程或等价的的解。 这里并且
  2. 朗伯W函数则可以解出值。

代数函数

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如,单变量 的代数函数给出一个方程中 的解。

其中系数 的多项式函数。

代数函数在数学分析代数几何中扮演重要角色,我们再拿单位圆方程来当作代数函数的范例:

那么 的显函数解显然是:

但其实我们不一定要把它的显函数解写出来,它也可以直接利用隐函数来表达。

对于y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程(参见阿贝尔-鲁菲尼定理),例如:

但是,我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隐函数的导数

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:

方法一

  • 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例

把一元隐函数看作二元函数,若欲求,对取全微分,可得,经过移项可得

(式中表示关于的偏导数,以此类推)。

把2元隐函数看作3元函数,若欲求,对取全微分,可得

由于所求为,令z为常数,即,经过移项可得

方法二

  • 针对1元隐函数,把看作的函数,利用链式法则在隐函数等式两边分别对求导,再通过移项求得的值。
  • 针对2元隐函数,把看作的函数,利用链式法则在隐函数等式两边分别对求导,令,再通过移项求得的值。

示例

  • 针对

  • 针对

  • 中y对x的导数。

为了方便辨别相应的导数部分,各项都以不同颜色分开(常数则以黑色表示)。

1.两边皆取其相应的导数,得出

2.移项处理。

3.提出导数因子。

4.移项处理。

5.完成。得出其导数为

6.选择性步骤:因式分解

参见


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