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双有理几何

实直线双有理等价。图中展示了其中一种双有理映射,球极平面投影

代数几何中,双有理几何处理的是代数簇双有理等价之下不变的性质,也就是由其函数域决定的性质。这些性质包括维度、算术亏格、几何亏格、小平维度等等。

曲线的情况

任何曲线都双有理等价于一条平滑射影曲线。平滑射影曲线之间的有理映射能延拓为态射,双有理等价对应到同构;因此曲线的双有理几何无非是射影曲线的同构及其不变量问题。

高维情况

在零特征域上,意大利学派在1890-1910年间建立代数曲面的基础理论,并完成了曲面的双有理分类。1970年起的工作聚焦于三维以上情形。这方面的指导思想之一是极小模型纲领。

参见

文献

  • S. Iitaka, Algebraic geometry, an introduction to birational geometry of algebraic varieties , Springer (1982)
  • R. Hartshorne, Algebraic geometry , Springer (1977)

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