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非线性控制

回授控制系统,目的是控制一系统(受控系统)使其输出可以追随参考信号。感测器会将输出转换为信号,而控制器会将实际输出的感测信号减去参考信号,应用所得到的误差信号来控制受控系统,使其输出接近参考信号。在非线性控制系统中,受控系统、感测器或是控制器中至少有一个是非线性的。

非线性控制(Nonlinear control)是控制理论中处理非线性系统的理论。控制理论本身是工程和数学的跨领域学科,探讨动力系统在有输入下的行为,以及如何利用反馈前馈、信号滤波来改变输入,以调整动力系统的输出。被控制的系统会称为受控体。有一个让受控体输出可以追随参考信号的方法,就是将受控体输出反馈到控制器,和参考信号比较,利用比较后的结果来改变受控体的输入,使输出可以追随参考信号。

控制理论可以分为二种:线性控制理论可适用于元件均满足叠加原理的系统(线性系统),其统御方程是线性的微分方程,线性系统中若其参数不会随时间而改变,则称为线性时不变(LTI)系统,这类系统可以用强大的频域数学技巧加以分析,例如拉普拉斯变换傅里叶变换Z转换波德图根轨迹图奈奎斯特稳定判据

非线性控制理论则是针对不符合叠加原理的系统(非线性系统),适用于较多的真实世界系统,因为所有真实世界的系统都是非线性的。其统御方程是非线性微分方程,要处理非线性控制的理论比较严谨,也比较不具一般性,只能适用在一些特定种类的系统。这些技术包括极限环理论、庞加莱映射李亚普诺夫函数描述函数。若只需要研究非线性系统在某稳定点附近行为,可以用近似的方式将非线性系统线性化,方法是将非线性解表示为无穷级数,再利用线性的技巧来处理。非线性系统一般会用电子计算机中的数值方法来分析,例如用仿真语言英语simulation language仿真其行为。有时虽然受控体是线性的,但使用非线性控制会让实现更简单、速度更快、更准确、或是控制需要的能量更少,不过在设计上可能也会比较困难。

非线性控制系统的例子是自动调温器控制的加热系统。大楼的温控系统对温度的变化有非线性的响应,可能是“开启”或是“关闭”,不像线性比例控制的设备,可以针对温度差作较精细的控制。因此,温度需低于“开启”的设定温度后,加热系统才会打开,之后因为加热系统的作用,温度会开始上升,温度高于“关闭”的设定温度后,加热系统会关闭,温度渐渐下降。加热系统就会依此循环运作。这个温度的循环称为极限环,就是非线性系统的特点之一。

非线性系统的特点

以下是一些非线性系统的特点

非线性系统的分析及控制

有许多针对非线性系统的分析及控制技巧:

也有一些针对非线性系统的控制器设计技巧,可以分为几类。一类是在可线性的范围内,将非线性系统近似为线性系统,再用线性系统的方法处理:

也有一些是用辅助的非线性回授,设法让系统接近线性,以设计控制器:

以及李亚普诺夫系列的方法:

非线性回授分析–Lure问题

Lure问题的方块图

早期有一个由Anatoliy Isakovich Lure英语Anatoliy Lure提出的非线性回授系统分析问题。

Lur问题描述的控制系统有一个线性非时变的前向路径,其回授路径有无记忆,可能时变的非线性成分。

其线性部分可以表示为四个矩阵(A,B,C,D),非线性成分是Φ(y),其中(扇形非线性)

绝对稳定性问题

考虑:

  1. (A,B) 有可控制性,(C,A) 有可观察性
  2. 存在二个实数a, ba < b,定义了Φ的扇形区域

Lure问题(也称为绝对稳定性问题)是要推导只和传递矩阵H(s)和{a,b}有关的条件,可以使x = 0是系统的全域均匀渐近稳定平衡点。

有二个有关绝对稳定性问题的著名猜想,都已证实不成立:

以图形上来看,上述猜想可以表示为在Φ(y) x y或是dΦ/dy x Φ/y图上的几何制。这两个猜想存在反例,在线性稳定扇形区域内存在非线性回授,使得稳定的平衡点和稳定的周期解同时存在(隐蔽振荡英语hidden oscillation)。

有二个有关Lure问题的主要定理,提供绝对稳定的充份条件:

在非线性控制中的理论成果

弗罗贝尼乌斯定理

弗罗贝尼乌斯定理是微分几何中深刻的成果,其相关的概念和其他数学领域有关。若应用在非线性控制,其型式如下:假设以下型式的系统

其中是属于分布的向量场,而是控制函数,的积分曲线会限制在维流形,若,且对合分布。

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