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项测试

第n项测试the n-th term test for divergence)是数学上测试无穷级数是否发散的一个方式。

  • 或极限不存在,则 发散。

许多数学书籍的作者没有为上述的测试方式命名

用途

项测试和其他较强的收敛测试不同,此测试方式只能确认级数是否发散,不能确认级数是否收敛。若不符合此测试的条件,无法判定级数是收敛或是发散。例如:

  • 可能收敛也可能发散,此条件下无法用此测试判定级数是否收敛。

调和级数就是不符合此测试的发散条件,却又是发散级数的典型范例。调和级数是以下p级数的特例:

配合项测试及其他测试,可得到以下的结果:

  • p ≤ 0,根据项测试可知此级数发散。
  • 若0 < p ≤ 1,根据项测试无法判定级数发散或收敛,根据积分判别法可判定此级数发散。
  • 若1 < p,根据项测试无法判定级数发散或收敛,根据积分判别法可判定此级数收敛。

证明

要证明此测试法,一般都会证明其逆否命题contrapositive)形式;

  • 收敛,则

利用极限证明

sn 是级数的部分和,则上述对数列的假设可推得

因此可得

柯西判别法

级数收敛的假设表示级数可以满足柯西判别法的测试:对任意均存在一数字N使得

在所有n > Np ≥ 1的条件下均成立。令p = 1,即可得到

应用范围

项测试最简单的版本可以用在实数的无穷级数中。上述的二个证明也可以在适用在赋范向量空间中。

脚注

  1. ^ Kaczor p.336
  2. ^ 如Rudin (p.60)只提到其相反位置(contrapositive)的形式,没有命名。Brabenec (p.156)称此测试为nth term test。Stewart (p.709)称此测试为Test for Divergence
  3. ^ Brabenec p.156; Stewart p.709
  4. ^ Rudin (pp.59-60)也使用此证明的概念,但用另一种陈述柯西判别法的方式
  5. ^ Hansen p.55; Șuhubi p.375

参考资料

  • Brabenec, Robert. Resources for the study of real analysis. MAA. 2005. ISBN 0883857375.
  • Hansen, Vagn Lundsgaard. Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific. 2006. ISBN 9812565639.
  • Kaczor, Wiesława and Maria Nowak. Problems in Mathematical Analysis. American Mathematical Society. 2003. ISBN 0821820508.
  • Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis 3e. McGraw-Hill. 1976 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
  • Stewart, James. Calculus: Early transcendentals 4e. Brooks/Cole. 1999. ISBN 0-534-36298-2.
  • Șuhubi, Erdoğan S. Functional Analysis. Springer. 2003. ISBN 1402016166.

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