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高斯整数

高斯整数是复数面上的整点。
各种各样的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圆周率
自然对数的底
虚数单位
无穷大

高斯整数实数虚数部分都是整数复数。所有高斯整数组成了一个整域,写作,是个不可以转成有序环的欧几里得整环

高斯整数的范数都是非负整数,定义为

单位元的范数均为

作为唯一分解整环

高斯整数形成了一个唯一分解整环,其可逆元

素元素又称为高斯素数

高斯整数是素数当且仅当

  • 中有一个是零,另一个是形为或其相反数的素数

  • 均不为零,而为素数。
高斯素数的分布

以下给出这些条件的证明。

必要条件的证明为:仅当高斯整数的范数是素数,或素数的平方时,它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数。现在,是整数,因此根据算术基本定理,它可以分解为素数的乘积。根据素数的定义,如果是素数,则它可以整除,对于某个。另外,可以整除,因此。于是现在只有两种选择:要么的范数是素数,要么是素数的平方。

如果实际上对于某个素数,有,那么都能整除。它们都不能是可逆元,因此,以及,其中是可逆元。这就是说,要么,要么,其中

然而,不是每一个素数都是高斯素数。就不是高斯素数,因为。高斯素数不能是的形式,因为根据费马平方和定理,它们可以写成的形式,其中是整数,且。剩下的就只有形为的素数了。

形为的素数也是高斯素数。假设,其中是素数,且可以分解为。那么。如果这个分解是非平凡的,那么。但是,任何两个平方数的和都不能写成的形式。因此分解一定是平凡的,所以是高斯素数。

类似地,乘以一个形为的素数也是高斯素数,但乘以形为的素数则不是。

如果是范数为素数的高斯整数,那么是高斯素数。这是因为如果,那么。由于是素数,因此一定是1,所以一定是可逆元。

作为整闭包

高斯整数环是在高斯有理数中的整闭包,由实数部分和虚数部分都是有理数的复数组成。

作为欧几里德环

在图中很容易看到,每一个复数与最近的高斯整数的距离最多为个单位。因此,是一个欧几里德环,其中

未解决的问题

高斯圆问题是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点的问题。它本身并不是关于高斯整数的,但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。

关于高斯整数,还有一些猜想和未解决的问题,例如:

实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数。在复平面上,还存在任何其它的直线上有无穷多个高斯素数吗?特别地,实数部分为的直线上存在无穷多个高斯素数吗?

在高斯素数上行走,步伐小于某个给定的值,可以走到无穷远吗?

参见

参考文献

  • C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
  • 从数到环:环论的早期历史,由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
  • Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5

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