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高斯磁定律

在这篇文章内,矢量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置矢量通常用 表示;而其大小则用 来表示。
卡尔·高斯

电磁学里,高斯磁定律阐明,磁场(B场)的散度等于零。因此,磁场是一个螺线矢量场。从这事实,可以推断磁单极子不存在。磁的基本实体是磁偶极子,而不是磁荷。当然,假若将来科学家发现有磁单极子存在,那么,这定律就必须做适当的修改,如稍后论述。高斯磁定律是因德国物理学者卡尔·高斯而命名。

在物理学界,很多学者使用“高斯磁定律”来指称这定律,但并不是每一位学者都采用这名字。有些作者称它为“自由磁单极子缺失”,或明确地表示这定律没有取名字。还有些作者称此定律为“横向性要求”,因为在真空中或线性介质中传播的电磁波必须是横波

理论方程形式

闭曲面与开放曲面示意图。左边是闭曲面例子,包括球面环面立方体面;穿过这些曲面的磁通量等于零。右边是开放曲面,包括圆盘面正方形面半球面;都具有边界(以红色显示),不完全围入三维体积。穿过这些曲面的磁通量不一定等于零。

高斯磁定律的方程可以写为两种形式:微分形式和积分形式。根据散度定理,这两种形式为等价的。

高斯磁定律的微分形式为

其中,磁感应强度

这是麦克斯韦方程组中的一个方程。

高斯磁定律的积分形式为

\oiint

其中, 是一个闭曲面, 是微小面积分(请参阅曲面积分)。

这方程的左手边项目,称为通过闭曲面的净磁通量。高斯磁定律阐明这净磁通量永远等于零。

磁矢势

根据亥姆霍兹分解Helmholtz decomposition),因为磁场的散度等于零,必定存在有矢量场 满足条件

这矢量场 称为磁矢势

请注意并不是只有一个矢量场 满足这条件。实际上,有无限多个解答。应用一项矢量恒等式

给予任意函数 ,那么, 也是一个解答。磁矢势的这种特性,称为规范自由

磁场线

透过铁粉显示出的磁场线。将条状磁铁放在白纸下面,铺洒一堆铁粉在白纸上面,这些铁粉会依著磁场线的方向排列,形成一条条的曲线,在曲线的每一点显示出磁场线的方向。

磁场,就像任何矢量场,可以用场线来描绘其轨迹。磁场线是一组曲线,其方向对应于磁场的方向,其面密度与磁场的大小成正比。因为磁场的散度等于零,磁场线没有初始点,也没有终结点。磁场线或者形成一个闭循环,或者两个端点都延伸至无穷远。

磁单极子

假若,有科学家发现磁单极子存在于宇宙,则高斯磁定律不正确,必须修正。磁场的散度会与磁荷密度 成正比:

其中,磁常数

毕奥-萨伐尔定律

从毕奥-萨伐尔定律,可以推导出高斯磁定律。毕奥-萨伐尔定律阐明,设定电流密度 ,则磁场为

其中, 是源位置, 是场位置, 是积分的体积, 是微小体积元素。

应用一项矢量恒等式

将这恒等式带入毕奥-萨伐尔方程。由于梯度只作用于无单撇号的坐标,可以移到积分外,改为旋度

应用一项矢量恒等式

所以,高斯磁定律成立:

参阅

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999: pp. 237, 273. ISBN 978-0-471-30932-1.
  2. ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 321. ISBN 0-13-805326-X.
  3. ^ Joannopoulos John D.; Johnson, Steve G.;Winn, Joshua N. and Meade, Robert D. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd. Princeton, NJ USA: Princeton University Press. 2008: pp. 9. ISBN 978-0-691-12456-8.

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