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高斯-博内定理

适用高斯-博内定理的复杂区域的一个例子。标示了测地曲率。

微分几何中,高斯-博内定理(亦称高斯-博内公式)是关于曲面的图形(由曲率表征)和拓扑(由欧拉示性数表征)间联系的一项重要表述。它是以卡尔·弗里德里希·高斯和皮埃尔·奥西安·博内命名的,前者发现了定理的一个版本但从未发表,后者1848年发表了该定理的一个特例。

定理内容

是一个紧的二维黎曼流形是其边界。令高斯曲率测地曲率。则有

其中dA是该曲面的面积元,dsM边界的线元。此处欧拉示性数

如果的边界是分段光滑的,我们将视作光滑部分相应的积分之和,加上光滑部分在曲线边界上的转过的角度之和。

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