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CW复形

CW复形,又称胞腔复形,在拓扑学上属于拓扑空间之一类,由J.H.C.怀特海德引入,用于同伦理论。其思想是构造一类空间,比单纯复形更为广泛(我们现在可以说,有更好的范畴论属性);但还要保留组合的本质,因此计算方面的考虑没有被忽略。

形式表述

粗略地说,CW复形由称作胞腔的基本元件组成。其精确定义规定胞腔如何在拓扑意义上“粘合”。CW复形名称中的“C”代表“闭有限”(closure-finite),而“W”则代表“弱拓扑”(weak topology)。

单个 维闭胞腔是指 闭球贴映射下的像。例如,每个单纯形都是一个闭胞腔,或更一般地,每个凸多面体都是一个闭胞腔。单个 维开胞腔则是一个同胚开球的拓扑空间。零维的开(或闭)胞腔是指一个单元素空间。而“闭有限”条件要求每个闭胞腔都可由有限个开胞腔所覆盖

CW复形是一个豪斯多夫空间 ,连同一个将 划为开胞腔(维度不必统一)的划分,并满足以下性质:

  • 的划分中的任意一个 维开胞腔 ,存在一个从 维闭球到 连续映射 ,使得:
    • 限制在闭球的内部上是到胞腔 的同胚,且
    • 闭球的边界在 下的像包含于 的划分中的有限个维度小于 的元素的并集内。
  • 的闭子集即是与每一个开胞腔交于闭集(相对于开胞腔本身的拓扑)的集合( 的拓扑为所有开胞腔的并的弱拓扑)。

相对CW复形

笼统地说,相对CW复形与CW复形的区别在于它容许一个额外的、不须带有任何胞腔结构的组件。遵照上文的定义,这个组件被视作负一维胞腔。

CW复形的归纳法定义

如果一个CW复形中胞腔的维度最大为 ,那么我们称这个CW复形是 维的。若胞腔的维度没有上限,那么我们说这个CW复形是无穷维的。CW复形的 维骨架是指所有维度不超过 的胞腔的并。如果这个并集是闭集,那么它本身就是一个CW复形,称为原复形的子复形。因此,CW复形的 维骨架是维度不超过 的最大子复形。

CW复形常常由其各个维度上的骨架通过归纳来定义。首先定义0维骨架为离散空间。紧接着将1维胞腔黏着到0维骨架上。这一步先将每个1维胞腔先视作1维闭球,然后通过某个从这个闭球的边界——即0维球面 ——到0维骨架的连续影射贴合。 上的每一点都与其在该映射下的像与0维骨架上的某一点等同;这构成一个等价关系。如此,1维骨架就定义成0维骨架和所有1维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间

概括而言,给定 维骨架, 维骨架是由在此基础上黏着 维胞腔得到。每个 维胞腔同样先视作 维闭球,然后通过某个从这个闭球的边界——即 维球面 ——到 维骨架的连续影射贴合。 上的每一点都与其在该映射下的像与 维骨架上的某一点等同;这同样构成一个等价关系。这样, 维骨架就定义成 维骨架和所有 维胞腔的并、再模去此等价关系后的商空间

在同构意义上,每个 维CW复形都可依此由其 维骨架构造而成,因此每个有限维CW复形都能按以上方法构造。甚至对于无穷维CW复形也成立,只要借助拓扑空间的归纳极限来描述以上无穷过程的结果,这个结论也是对的:在极限的集合 中,子集是闭集当且仅当它与每一个骨架都交于闭集(相对于骨架本身的拓扑)。

例子

  • 实数集 上的标准CW结构中的0维骨架为整数集 ,而1维胞腔则是区间 。相似地,在 上的标准CW结构中的胞腔是 的0维和1维胞腔的积。
  • 多面体带有自然的CW复形结构。
  • 是一维CW复形。
  • 无穷维希尔伯特空间不是CW复形:它是一个贝尔空间(见贝尔纲定理),因此不能写成其 维骨架的并,因每个骨架都是闭集且内部为空。这个论证也可引申到许多无穷维空间。
  • 球面容许一个只有两个胞腔的CW结构:一个0维胞腔和一个 维胞腔,依靠从 到0维胞腔的常映射黏着。另外一个替代的胞腔分解也很受欢迎,因赤道包含映射 的补集恰好是两个球:上半球和下半球。由归纳法可得 的一个CW分解,每个维度 上恰好有两个 维胞腔。
  • 实射影空间容许一个CW结构,每个维度 上恰好有一个 维胞腔。
  • 格拉斯曼流形容许一个CW结构,其胞腔称作舒伯特胞腔.
  • 微分流形、代数和射影都同伦于CW复形。
  • 空间 同伦于CW复形(甚至是可收缩的),但不容许任何CW结构,因其不是局部可收缩的。
  • 夏威夷耳环英语Hawaiian earring是不同伦于CW的拓扑空间的一例。

CW复形的同调与上同调

CW复形的奇异同调(或上同调)可以通过胞腔同调计算。此外,在CW复形和胞腔映射的范畴内,胞腔同调可以解读成一种同调论。如要计算CW复形的广义(上)同调,阿提亚-希策布鲁赫英语Atiyah–Hirzebruch spectral sequence谱序列是胞腔同调的一个类比。

以下是一些计算的实例:

  • 对于球面 ,取只带有一个0维胞腔和一个 维胞腔的分解。胞腔链复形 与同调皆为

因为所有微分算子皆为零(实际上,上链复形与上同调亦然)。或者,如果我们取赤道分解,使得每个维度上各有两个胞腔,那么

而微分算子是形为 的矩阵。这个复形给出的同调与以上计算一致,因为复形在除 项外都是正合的。

  • 对于复射影空间 ,可以相似地算得

之所以这两例中计算都尤其简单,是因为同调完全由胞腔数目确定——换言之,胞腔的黏着映射在计算中没有扮演任何角色。这个现象只是特例,在一般情况下并不成立。

同伦范畴

在某些专家眼中,CW复形的同伦范畴即使不是唯一的同伦范畴(基于技术原因,实际使用的版本是带基点的空间),也是同伦范畴的最佳候选。因此,可能会得出非CW复形的空间的辅助构造需尽量避免。在这方面的基本结论是布朗可表性定理:同伦范畴上的可表函子可以借助CW复形来相当精简地刻画。

性质

  • CW复形是局部可收缩的。
  • CW复形满足怀特黑德定理:CW复形之间的映射是同伦等价当且仅当在所有同伦群上都诱导出同构。
  • 两个CW复形的积可以转化成一个CW复形。具体而言,设 为CW复形,那么 上容许一个CW复形的结构,其胞腔即 中的胞腔与 中胞腔的积,并配备弱拓扑。不出所料,这个新的CW复形的底集合就是 本身。此外,多数情况下弱拓扑与 上的积拓扑一致,例如当 之一是有限CW复形(或更一般地,当它们之一是局部有限的,也即在每个维度它有有限个胞腔)。然而,如果 皆非局部紧,弱拓扑可能比积拓扑更精细。在这种不利的情形下,两个复形的积(作为拓扑空间) 不是一个CW复形。另一方面,紧生成空间范畴中的积的拓扑与弱拓扑一致,因此确实定义出一个CW复形。
  • 为CW复形。函数空间 (带紧致开拓扑)一般不是CW复形。若 是有限CW复形,那么 同伦等价于一个CW复形;这是由于约翰·米尔诺的一个定理 (1959)。 注意到 都是紧生成豪斯多夫空间,因此 常常取其紧生成的变种;以上结论对于这个变种仍然成立。
  • CW复形的覆叠空间也是CW复形。
  • CW复形是仿紧空间,而有限CW复形是紧空间。CW复形的紧子空间必定包含于一有限子复形内。

注释

  1. ^ Davis, James F.; Kirk, Paul. Lecture Notes in Algebraic Topology. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 2001.
  2. ^ 存档副本. [2016-05-29]. (原始内容存档于2016-05-06).
  3. ^ 存档副本. [2016-05-29]. (原始内容存档于2015-12-20).
  4. ^ 例如,Baladze, D.O., CW-complex, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4声称"The class of CW complexes (or the class of spaces of the same homotopy type as a CW complex) is the most suitable class of topological spaces in relation to homotopy theory"
  5. ^ Milnor, John, "On spaces having the homotopy type of a CW-complex页面存档备份,存于互联网档案馆)" Trans. Amer. Math. Soc. 90 (1959), 272–280.
  6. ^ Compactly Generated Spaces (PDF). [2016-05-29]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-03).
  7. ^ Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0. 免费电子版本可见作者的网站页面存档备份,存于互联网档案馆)。
  8. ^ Hatcher, Allen, Vector bundles and K-theory, 初步版本可见于作者的网站页面存档备份,存于互联网档案馆

综合参考


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