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正十六胞体堆砌

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正十六胞体堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
类型正四维堆砌
维度4
四维{3,3,4} Schlegel wireframe 16-cell.png
{3,3} Tetrahedron.png
{3}
棱图立方体
顶点图24-cell t0 F4.svg
正二十四胞体
施莱夫利符号{3,3,4,3}
欧拉示性数0
考克斯特记号英语Coxeter–Dynkin_diagramCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
考克斯特群 = [3,3,4,3]
对偶多胞体正二十四胞体堆砌
特性

在四维空间几何学中,正十六胞体堆砌是三种四维空间正堆砌体之一,由正十六胞体独立堆砌而成,每个条棱周围都环绕着3个正十六胞体,其顶点图正二十四胞体。正十六胞体堆砌的对偶多胞体是正二十四胞体,换句话说即正二十四胞体的顶点恰位于正十六胞体堆砌每个胞的几何中心,反之正十六胞体堆砌的顶点也位于正二十四胞体每个胞的几何中心

由于正十六胞体堆砌是一种完全密铺完四维空间的一种几何结构,就像是二维空间的平面三角形网格在四维空间的类比。正十六胞体堆砌的顶点排布英语vertex arrangement所形成的四维网格又称为, D4F4网格英语F4 (mathematics)#F4_lattice

性质

正十六胞体堆砌是一种由正十六胞体完全密铺于四维空间的几何结构,每个三角形面周围都有3个正十六胞体,在施莱夫利符号中以 表示;每条棱周围都有6个正十六胞体,棱图立方体;每个顶点都是24个正十六胞体的公共顶点,顶点图为正二十四胞体。其对称性为考克斯特群群,在考克斯特表示法英语Coxeter_notation中可记为

顶点座标

正十六胞体堆砌是一个正堆砌体,与二维的三角形镶嵌类似,可视为{4,3,3,4}通过交错变换的结果,并且与四面体-八面体堆砌英语Tetrahedral-octahedral honeycomb相关。

正十六胞体堆砌可以被放置在整数座标 上,其中i、j,k,l的和必须是偶数

D4网格

正十六胞体堆砌的顶点排布英语vertex arrangement称为D4网格或F4网格。以这些顶点为几何中心的三维超球可以构成四维空间中可能的正超球体填充中最紧密的一种排布,其牛顿数英语Kissing number为24。

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

另一种网格,D+
4
网格(又称为D2
4
网格)可以透过两个半超立方体网格联集构成,且与超立方体堆砌相关:

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

这种空间填充网格仅能存于偶数维度的空间。其牛顿数英语Kissing number二的三次方等于8。

The D*
4
网格(也称为D4
4
或C2
4
)可以透过所有四个D4网格的联集来构成,但其与D4网格相同,同时他也是2个超立方体堆砌放置在对方的对偶位置的联集,也就是四维空间中立方晶系结构。

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel nodes 01rd.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 01ld.png = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel nodes 10r.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel nodes 01r.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.png

D*
4
网格的牛顿数英语Kissing number为24,其沃罗诺伊图为正二十四胞体堆砌(CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.pngCDel 4a4b.pngCDel nodes.png),并包含所有的截半正十六胞体(即正二十四胞体)之沃罗诺伊胞,在考克斯特记号中计为CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png

不同对称性的结构

名称 考克斯特群 施莱夫利符号 考克斯特记号 顶点图
对称性
维面
正十六胞体堆砌 = [3,3,4,3] {3,3,4,3} CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
[3,4,3], 1152阶
24: 正十六胞体
四维堆砌 = [31,1,3,4]英语Template:B4 honeycombs = h{4,3,3,4} CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
[3,3,4], 384阶
16+8: 正十六胞体
= [31,1,1,1]英语Template:D4 honeycombs {3,31,1,1}
= h{4,3,31,1}
CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png = CDel node h1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
[31,1,1], 192阶
8+8+8: 正十六胞体

相关多胞体与堆砌

正十六胞体堆砌是四维空间三种正堆砌体之一,其他的四维空间正堆砌体有:

图像 Tesseractic tetracomb.png
超立方体堆砌
Demitesseractic tetra hc.png
正十六胞体堆砌
Icositetrachoronic tetracomb.png
正二十四胞体堆砌
施莱夫利符号 {4,3,3,4} {3,3,4,3} {3,4,3,3}
D5堆砌体
扩展对称性英语Coxeter notation#Extended_symmetry 扩展符号 扩展群 堆砌体
[31,1,3,31,1] CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
<[31,1,3,31,1]>
↔ [31,1,3,3,4]
CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel split1.pngCDel nodeab c5.png
CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel 3.pngCDel node c5.pngCDel 4.pngCDel node.png
×21 = CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png

CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png

[[31,1,3,31,1]] CDel nodeab c1-2.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1-2.png ×22 CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png, CDel nodes 10ru.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 10lu.png
<2[31,1,3,31,1]>
↔ [4,3,3,3,4]
CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c4.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c3.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c4.pngCDel 4.pngCDel node.png
×41 = CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png
[<2[31,1,3,31,1]>]
↔ [[4,3,3,3,4]]
CDel nodeab c1.pngCDel split2.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel split1.pngCDel nodeab c1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node c1.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c2.pngCDel 3.pngCDel node c1.pngCDel 4.pngCDel node.png
×8 = ×2 CDel nodes.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png, CDel nodes 11.pngCDel split2.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes 11.png

参见

注释

  1. ^ 当n<8时为2n-1;n=8时为240;n>8时为2n(n-1)

参考文献

  1. Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
    • pp. 154–156: Partial truncation or alternation, represented by h prefix: h{4,4} = {4,4}; h{4,3,4} = {31,1,4}, h{4,3,3,4} = {3,3,4,3}, ...
  2. Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  3. George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)
  4. Richard Klitzing, 4D, Euclidean tesselations x3o3o4o3o - hext - O104
  1. ^ The Lattice F4. math.rwth-aachen.de.
  2. ^ 2.0 2.1 The Lattice D4. math.rwth-aachen.de.
  3. ^ O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.
  4. ^ Conway JH, Sloane NJH. Sphere Packings, Lattices and Groups 3rd. 1998. ISBN 0-387-98585-9.
  5. ^ Conway(1998), p. 119
  6. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, 7.4 The dual lattice D3*, p.120
  7. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 120
  8. ^ Conway and Sloane, Sphere packings, lattices, and groups, p. 466

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