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三次平面曲线

一些三次平面曲线,点选图片会有细节的说明

三次平面曲线cubic plane curve)是指用以下三次函数定义的平面代数曲线 C

F(x, y, z) = 0

针对射影平面会使用齐次坐标x:y:z,或是在仿射空间中的非齐次版本,会令上述方程中的z = 1F是以下三次单项英语monomial的非零线性组合

x3, y3, z3, x2y, x2z, y2x, y2z, z2x, z2y, xyz.

共有十个单项,因此三次曲线会在给定的任意K中形成九维的射影空间英语projective space。。若指定九个任意的点,通过其上的三次曲线可能会退化,也可能不唯一,不过若这九个点是在一般位置上,通过其上的三次曲线唯一,且不会退化,就像二点决定一直线,以及五个点决定圆锥曲线英语Five points determine a conic一样,若二条圆锥曲线通过相同的九个点,这些点会满足一些特殊的条件,可参考凯莱-巴拉赫定理英语Cayley–Bacharach theorem

奇异三次曲线y2 = x2 ⋅ (x + 1),其参数式为t ↦ (t2 − 1, t ⋅ (t2 − 1))

牛顿曾研究三次曲线中的实数点。非奇异的投影三次曲线会落在一个或二个「卵形」内。其中一个卵形会和每一个实数投影曲线相交,因此若画在二维空间中,此部分是没有上界的,会有一个或三个一直延伸到无限大的分枝,其中也会有三个实数的反曲点。另一个卵形若存在,不会包括任何的反曲点,会是一个卵形或是有二个延伸到无限大分枝的图形。就像圆锥曲线一样,一条直线和这个卵形最多只会有二个交点。

任意的域K上,非奇异的投影三次曲线可定义椭圆曲线现今对椭圆曲线的研究主要是以魏尔斯特拉斯椭圆函数的变体的主,可以定义一个有理函数域的二次扩展英语Quadratic extension,做法是将三次曲线的平方根取出。这也和是否存在K-有理点英语rational point有关,在魏尔斯特拉斯型式下是无穷远点,有许多的三次曲线没有这様的点,例如像K有理数域的情形。

不可化简三次曲线的奇异点只有几种:一个二重点或是一个尖点。可化简三次曲线可能是一个圆锥曲线和一条直线,或是三条直线,可能会有二个二重点或是一个互自切点英语tacnode(一个圆锥曲线和一条直线的情形),若是三条直线,也可能有三个二重点,或是一个三重点(共点线英语concurrent line)。

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