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不可数集

不可数集(英语:uncountable set)是无穷集合中的一种。一个无穷集合和自然数集之间要是不存在一个双射,那么它就是一个不可数集。集合的不可数性与它的基数密切相关:如果一个集合的基数大于自然数的基数,那么它就是不可数的。

定义

不可数集有许多等价的定义。一个集合是不可数集,当且仅当以下任何一个条件成立:

  • 不存在从到自然数集合的单射函数
  • 的基数既不是有限的,又不等于阿列夫-0,自然数集合的基数)。
  • 的基数严格大于

性质

  • 如果不可数集是集合的子集,则是不可数集。

例子

不可数集的最广为人知的例子,是所有实数的集合对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的,例如所有自然数的无穷序列的集合(甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合),以及自然数集合的所有子集所组成的集合。的基数通常记为,或

康托尔集的一个不可数子集。它是一个分形,其豪斯多夫维大于零,但小于一(的维数是一)。这是以下事实的一个例子:如果的某个子集有严格大于零的豪斯多夫维,那么它一定是不可数的。

另外一个不可数集的例子,是所有从的函数的集合。这个集合比更“不可数”,因为它的基数是,它比还要大。

一个更加抽象的例子,是所有可数序数的集合,记为的基数记为。利用选择公理,可以证明是最小的不可数基数。于是,实数的基数,要么等于,要么严格比它大。康托尔是第一个提出是否等于的问题的人。在1900年,希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。的陈述现在称为连续统假设,现已知道它独立于集合论ZF公理(包括选择公理)。

参见

外部链接


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