# 不定积分

## 例子

### 微积分基本定理

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

${\displaystyle F(x_{i+1})-F(x_{i})=F^{\prime }(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}F(b)-F(a)&=\sum _{i=0}^{n-1}(F(x_{i+1})-F(x_{i}))\\&=\sum _{i=0}^{n-1}F^{\prime }(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}\\\end{aligned}}}

${\displaystyle f}$ 在闭区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上连续，故可使用黎曼可积，让 ${\displaystyle \sup _{0\leq i\leq n-1}\{\Delta x_{i}\}\leq \lambda }$ 于是当 ${\displaystyle \lambda \to 0}$，也就是分割越来越细时有

${\displaystyle \lim _{\lambda \to 0}\sum _{i=0}^{n-1}f(\xi _{i})\cdot \Delta x_{i}=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a)}$

${\displaystyle f}$ 的每个反导函数都可以叫做 ${\displaystyle f}$ 的不定积分，简写作${\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}$，因为在计算定积分时，积分常数在相减时消掉了。如果 ${\displaystyle F}$ 定义在几个不同的区间上，那么每个区间上的积分常数可以互不相同。例如

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+C_{1}\qquad x<0\\-{\frac {1}{x}}+C_{2}\qquad x>0\end{cases}}}$

### 由积分定义的函数

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle \,\Phi (a)=0}$

${\displaystyle \Phi (x+\Delta x)-\Phi (x)=\int _{a}^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
${\displaystyle =\int _{x}^{x+\Delta x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
${\displaystyle =f(\xi )\cdot \Delta x}$，其中${\displaystyle x<\xi ，当${\displaystyle \Delta x\to 0}$时，${\displaystyle \xi }$趋向于${\displaystyle x}$

${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle f(x)=2x\sin {\frac {1}{x}}-\cos {\frac {1}{x}}}$${\displaystyle \displaystyle f(0)=0}$

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {erf} (x)+C}$
${\displaystyle \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {Si} (x)+C}$
${\displaystyle \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x=\operatorname {Li} (x)+C}$

## 积分技巧

• 积分的线性性质使得我们可以把较为复杂的函数分成几个较为简单的函数的和来计算
• 换元积分法可以把被积函数转换成比较容易积分的形式，但对换元函数有一定要求。
• 分部积分法，用于函数乘积的积分。
• 对于实值分式函数的积分，可以先将函数展开成若干一次分式函数以及二次分式函数的幂的和，再进行积分。
• Risch算法
• 对于常见的不定积分，可以查看积分表
• 当函数的不定积分不能用初等函数表达时，可以采用其他办法计算函数的定积分，比如数值积分

## 不连续函数的积分

• 一些很不“规则”的函数，尽管在“非常多”的点上并不连续，但仍有原函数。
• 在某些情况下，一些不“规则”的函数的不定积分可以通过黎曼积分求得。当然更多的不“规则”的函数不是黎曼可积的。

## 不定积分公式表

1. ${\displaystyle \int a\,\mathrm {d} x=ax+C}$，其${\displaystyle C\,}$为常数；
2. ${\displaystyle \int x^{a}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a+1}}x^{a+1}+C}$，其${\displaystyle a\,}$是常数${\displaystyle a\neq -1}$;
3. ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln \left|x\right|+C}$;
4. ${\displaystyle \int a^{x}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$，其${\displaystyle a>0\,}$${\displaystyle a\neq 1}$;
5. ${\displaystyle \int \sin x\,\mathrm {d} x=-\cos x+C}$;
6. ${\displaystyle \int \cos x\,\mathrm {d} x=\sin x+C}$;
7. ${\displaystyle \int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln \left|\cos x\right|+C}$
8. ${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln \left|\sin x\right|+C}$
9. ${\displaystyle \int \sec x\,\mathrm {d} x={\rm {Re}}{\rm {Arth}}\tan {\frac {x}{2}}+C=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+C}$
10. ${\displaystyle \int \csc x\,\mathrm {d} x={\rm {Re}}{\rm {Ln}}\tan {\frac {x}{2}}+C=\ln \left|\csc x-\cot x\right|+C={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}\right|+C}$
11. ${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,\mathrm {d} x=\tan x+C}$;
12. ${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,\mathrm {d} x=-\cot x+C}$;
13. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin x+C}$;
14. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {\frac {x}{a}}+C}$;
15. ${\displaystyle \int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan x+C}$;
16. ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}$;
17. ${\displaystyle \int \operatorname {sinh} \,x\,\mathrm {d} x=\operatorname {cosh} \,x\,+C}$;
18. ${\displaystyle \int \operatorname {cosh} \,x\,\mathrm {d} x=\operatorname {sinh} \,x\,+C}$;
19. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}\mathrm {d} x=\operatorname {ln} (x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}})+C}$;
20. ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\mathrm {d} x=\operatorname {ln} |x+{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}|+C}$;

## 参考资料

1. ^ Bruce Edward, Ron Larson. Essential Calculus: Early Transcendental Functions 4/e (Metric Version). U.S: Cengage Learning. 2018: 209. ISBN 978-957-9282-07-9.