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二刻尺作图

二刻尺作图

二刻尺希腊语νεῦσις拉丁转写neuein)是一种几何作图的工具,是上面有二个刻度的直尺(刻度可以在作图过程中标示),因此可以记录长度。

二刻尺在古希腊时期曾经和圆规、(无刻度的)直尺一样是在尺规作图合法的作图工具。而后来的尺规作图多限定只能使用无刻度的直尺,不允许使用二刻尺。

构造

二刻尺介于刻度尺和尺规作图中的尺之间,既不同于日常使用的刻度尺(有许多刻度),也不同于尺规作图中的尺(没有刻度)。二刻尺有两个刻度,使得二刻尺上有某一固定长的线段。尺规作图中的,可视为画无限长的直线工具,二刻尺可看作这种尺上任意添加了点A和点B两个点(AB两点长度固定却不确定某一数值)。

使用方法

尺规作图中的尺只能用来将两连接起来。而二刻尺除了可以将两点连接起来,还有以下用法:假设上的两刻度距离a,有两条线lm和点P,可以用二刻尺找到一条通过P的直线,使得此直线与直线l和m的两个交点间的距离a

如图,有两条线lm和点P。可以将P对齐,并让其中一个刻度保持在l(图中黄点)上,慢慢转动尺 (允许尺贴著P滑动),直到另一个刻度碰到m(图中蓝点),此线即为所求(图中深蓝色线)。

几何作图

二刻尺可以解出单用直尺和圆规无法解决的问题,例如三等分角正七边形

用二刻尺做三等分角

三等分角

  • 已知角a,以B点为圆心,二刻尺刻度间距为半径画圆。
  • 角a的两边其中一边交圆于A点,并画另一边的延长线。
  • 将二刻尺固定在A点,并将两刻度一个移到圆上,另一个移到角a一边的延长线上,分别称为C点和D点。(即是使CD = AB)
  • 角b即为角a的三等分角。
用二刻尺作正七边形

正七边形

特定正多边形

基本上,正n边形可以由二刻尺作图建构当n =

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 48, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 80, 81, 84, 85, 88, 90, 91, 95, 96, 97, 99, 102, 104, 105, 108, 109, 110, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 132, 133, 135, 136, 140, 143, 144, 146, 148, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 163, 165, 168, 170, ... ,这是根据正十一边形的结果衍生而得。

不过当n =

23, 29, 43, 46, 47, 49, 53, 58, 59, 67, 69, 71, 79, 83, 86, 87, 89, 92, 94, 98, 103, 106, 107, 113, 115, 116, 118, 121, 127, 129, 131, 134, 137, 138, 139, 141, 142, 145, 147, 149, 157, 158, 159, 161, 166, 167, 169, ... ,就无法借由二刻尺完成作图。

但目前仍然不知道对于以下的n,正n边形能不能二刻尺作图:

25, 31, 41, 50, 61, 62, 75, 82, 93, 100, 101, 122, 123, 124, 125, 150, 151, 155, 164, ...

倍立方

用二刻尺作倍立方
  • 以二刻尺刻度的间距做AB=BC=CA=BD,且A、B、D共线。
  • 将二刻尺固定在A点,并将两刻度一个移到CD的延长线上,另一个移到BC的延长线上,分别称为G点和H点。
  • AG的长度就是二刻尺刻度的间距的倍。

二刻尺的没落

数学史学家T.L.希思英语T. L. Heath(T. L. Heath)认为古希腊数学家恩诺皮德斯(公元前440年左右)是第一个把圆规和直尺的地位提高的人。这种避免使用二刻尺的理念多少影响了同一时期、同一座岛上的几何学希俄斯的希波克拉底英语Hippocrates of Chios(Hippocrates of Chios,不是医师希波克拉底)(公元前430年左右)。100年后,欧几里得在其著作中也尽量避免使用二刻尺作图。

公元前4世纪,受到柏拉图理念论影响,尺规作图被分成三个等级。这三个等级分别是:

  1. 只用圆和直线作图(一般的尺规作图)。
  2. 除了圆和直线,允许使用圆锥曲线作图(椭圆抛物线双曲线)。
  3. 使用其他方法作图(例如:二刻尺、阿基米德螺线)。

二刻尺被放在第三级是因为它可以解决前两级所不能解决的问题,因此二刻尺被当成解决问题的最终手段,这种简单而有力的作图工具也逐渐被当成不正当的作图工具。希腊数学家亚历山大里亚的帕普斯(Pappus of Alexandria,公元前325年左右)认为:“这是一个不小的错误”。

注释

  1. ^ 恩诺皮德斯是最早提出尺规作图原则的人。
  2. ^ 希波克拉底是我们目前所知第一个将几何作图条理化的人
  3. ^ 直尺、圆规和圆锥曲线最多只能解决二次方程的题目,而二刻尺至少可以解决三次方程的题目。

外部链接

参见

  1. ^ BENJAMIN, ELLIOT; SNYDER, C. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society156.3 (May 2014): 409-424.; http://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753

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