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二项式系数可排列成帕斯卡三角形

数学上,二项式系数二项式定理中各项的系数。一般而言,二项式系数由两个非负整数 nk 为参数决定,写作 ,定义为 的多项式展开式中,项的系数,因此一定是非负整数。如果将二项式系数 写成一行,再依照 顺序由上往下排列,则构成帕斯卡三角形

二项式系数常见于各数学领域中,尤其是组合数学。事实上,可以被理解为从个相异元素中取出个元素的方法数,所以 大多读作“”。二项式系数 的定义可以推广至复数的情况,而且仍然被称为二项式系数。

历史及记号

虽然二项式系数在公元10世纪就已经被发现(见帕斯卡三角形),但表达式 却是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探讨二项式系数的论述是十世纪的 Halayudha英语Halayudha写的印度教典籍《Pingala的计量圣典》(chandaḥśāstra)。约1150年,印度数学家Bhaskaracharya于其著作《Lilavati》 中给出一个简单的描述。

二项式系数亦有不同的符号表达方式,包括:,其中的 C 代表组合(combinations)或选择(choices)。很多计算机使用含有 C 的变种记号,使得算式只占一行的空间,相同理由也发生在置换,例如写作 P(n, k)。

定义及概念

对于非负整数,二项式系数定义为的多项式展开式中,项的系数,即

事实上,若交换环上的元素,则

此数的另一出处在组合数学,表达了从物中,不计较次序取物有多少方式,亦即从一元素集合中所能组成元素子集的数量。此定义与上述定义相同,理由如下:若将幂个因数逐一标记为(从1至),则任一元素子集则建构成展式中的一个项,故此该单项的系数等如此种子集的数量。亦因此,就任何自然数而言,亦为自然数。此外,二项式系数亦见于很多组合问题的解答中,如由位元(如数字0或1)组成的所有序列中,其和为的数目为,又如算式,其中每一均为非负整数,则有种写法。这些例子中,大部分可视作等同于点算个元素的组合的数量。

计算二项式系数

除展开二项式或点算组合数量之外,尚有多种方式计算的值。

递归公式

以下递归公式可计算二项式系数:

其中特别指定:

此公式可由计算中的项,或点算集合个元素组合中包含与不包含的数量得出。

显然,如果,则。而且对所有,故此上述递归公式可于此等情况下中断。递归公式可用作建构帕斯卡三角形

乘数公式

个别二项式系数可用以下公式计算:

上式中第一个分数的分子是一阶乘幂。此公式可以二项式系数在计算组合数量的意义理解:分子为从个元素中取出个元素的序列之数量,当中包含同样的元素但不同排列次序的序列。分母则计算同样的个元素可有多少种排序方式。

阶乘公式

二项式系数最简洁的表达式是阶乘:

其中“”是的阶乘,此公式从上述乘数公式中分子分母各乘以取得,所以此公式中的分子分母有众同共同因子。除非先行抵销两边中的共同因子,否则以此公式进行计算时较率欠佳,尤因阶乘的数值增长特快。惟此公式展示了二项式系数的对称特性:

(1)

一般化形式及其与二项式级数的关系

若将换成任意数值(负数、实数或复数),甚至是在任何能为正整数给出逆元素交换环中的一元素,则二项式系数可籍乘数公式扩展:

此定义能使二项式公式一般化(其中一单项为1),故仍能相称地称作二项式系数:

(2)

此公式对任何复数时成立,故此亦可视作幂级数的恒等式,即系数为常数1,任意幂之级数定义,且在此定义下,对于幂的恒等式成立,例如

是一非负整数,则所有的项为零,此无穷级数变成有限项的和,还原为二项式公式,但对于的其他值,包括负数和有理数,此级数为无穷级数。

帕斯卡三角形 (杨辉三角)

帕斯卡三角形的第1000行,垂直排列,且以灰阶表示系数的十进制数位,向右对齐,故左边边界约是二项式系数的对数,图中可见数族形成一对数凹数列。

帕斯卡法则是一重要的递归等式:

(3)

此式可以用于数学归纳法,以证明对于所有均为自然数(等同于证明为所有个连续整数之积的因数),此特性并不易从公式(1)中得出。

帕斯卡法则建构出帕斯卡三角形:

0: 1
1: 1 1
2: 1 2 1
3: 1 3 3 1
4: 1 4 6 4 1
5: 1 5 10 10 5 1
6: 1 6 15 20 15 6 1
7: 21 35 35 21
8: 28 56 70 56 28

横行列出项,其建构方法为在外边填上1,然后将上一行中每两个相邻数相加的和填在其下,此方法可快速地计算二项式系数而不涉及乘法或分数,例如从第5横行可马上得出

在斜线上相邻项的差就是上一斜线上的数值,此乃上述递归等式(3)的延伸意义。

组合数学和统计学

二项式系数是组合数学中的重要课题,因其可用于众多常见的点算问题中,例如

  • 共有种方式从元素中选取项。见组合
  • 共有种方式从一个元素集合中选取(容许重复选取)元素建立多重集
  • 共有字符串包含个1和个零。
  • 共有个字符串包含个1和个零,且没有两个1相邻。
  • 卡塔兰数
  • 统计学中的二项式分布
  • 贝兹曲线的公式。

以多项式表达二项式系数

就任就非负整数可表达为一多项式除以

此为带有理数系数,变量是多项式,可对任意实数或复数运算以得出二项式系数,此“广义二项式系数”见于牛顿广义二项式定理

就任意,多项式可看成是惟一的次多项式满足.

其系数可以第一类斯特灵数表示,即:

导数可以对数微分计算:

以二项式系数为多项式空间之基底

在任何包含Q中,最多阶的多项式有惟一的线性组合。系数是数列k差分,亦即:

(3.5)

整数值多项式

每一多项式在整数参数时均是整数值(可在上,用帕斯卡法则以归纳法证明)。故此,二项式系数多项式的整数线性组合亦为整数值。反之,(3.5)表达了任何整数值的多项式均是二项式系数多项式的整数线性组合。一般而言,对于一个特征0域的任何子环,在内的多项式在整数参数时之值均在内当且仅当该多项式是一二项式系数多项式的-线性组合。

整数值多项式可表达作:

帕斯卡矩阵可算出:

这种二项式系数多项式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和

有关二项式系数的恒等式

关系式

阶乘公式能联系相邻的二项式系数,例如在是正整数时,对任意有:

两个组合数相乘可作变换:

一阶求和公式

二阶求和公式

三阶求和公式

备注

  1. ^ Higham (1998)
  2. ^ Lilavati 第6节,第4章(见Knuth (1997))。
  3. ^ Shilov (1977)
  4. ^ 见(Graham,Knuth & Patashnik 1994),其中就定义了,其他一般化形式包括考虑两参数为实数或复数时以伽玛函数时定义,但此举会令大部分二项式系数的恒等式失效,故未有被广泛采用。然而,此方法替不等于零的参数下定义则可得出如Hilton, Holton and Pedersen, Mathematical reflections: in a room with many mirrors, Springer, 1997中那种好看的“帕斯卡风车”,但是却会令帕斯卡法则在原点失效。
  5. ^ 此可视作泰勒定理的离散形式,亦与牛顿多项式有关,此式的交错项之和可以Nörlund–Rice积分表示。

参见

外部链接

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