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环的谱本文重定向自 交換環譜

(重定向自仿射概形)

抽象代数学交换代数代数几何学中,一个交换环是指其素理想全体形成的集合,记作。它被赋予扎里斯基拓扑和结构层,从而成为局部赋环空间

一个局部赋环空间若同构于一个交换环谱,即称为仿射概形

扎里斯基拓扑

对于交换环 里的任一理想 ,置 。容易证明下述性质:

  • 当且仅当

因此我们可以在上定义一个拓扑结构,使得其闭子集恰为形如的子集,称之扎里斯基拓扑

一般而言,扎里斯基拓扑并不满足豪斯多夫性质

结构层

考虑扎里斯基拓扑下的下述预层

为其层化,称作结构层。显然有,故构成一个局部赋环空间。

一个元素给出的截面,事实上可以证明

交换环谱间的态射

为交换环,为一同态,则可定义一个映射,这是从的连续映射,在结构层上则以定义,那么给出局部赋环空间的态射。

反之,任何仿射概形间的态射皆由此唯一地给出。上述对应遂建立起交换环的反范畴与仿射概形范畴的等价性。

古典观点

为代数封闭域,给定(i=1,2,...),则方程组定义一个代数簇

。根据希尔伯特零点定理的点一一对应到的极大理想。

一般而言,内的元素一一对应到内的不可约闭集。考虑全体素理想的好处之一,在于可以借此在概形上运用安德烈·韦伊的一般点(generic point)理论;此外,环同态不一定将极大理想拉回到极大理想,除非该环是 Jacobson 环。

的拓扑结构仅涉及里的幂零元素看似无几何意义,但它们在研究无穷小变化及态射的纤维上功效至大。

参见


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